F*=4AA'SS

et cette équation n'est autre que l'équation cherchée.

D'après sa forme (n** 233), l'équation F2 = 4 AA'SS' représente un lieu tangent à S et S', la courbe F passant par les points de contact. Par suite : Les huit points de contact de deux coniques avec leurs tangentes communes sont sur une autre conique F. Réciproquement : Les huit tangentes menées aux points d^ intersection de deux coniques enveloppent une autre conique $.

L'équation F = o est celle que nous avons obtenue au n** 334, pour le lieu des points tels que les tangentes menées par un de ces points aux deux coniques forment un faisceau harmonique (*).

(') M. Salmoa est le premier qui ait fait remarquer Timporlance de celte conique dans la théorie du système de deux courbes du deuxième degré.

Lorsque S' se réduit à deux droites, F représente les deux tangentes menées à S par l'intersection de ces droites.

Exercice.

Trouver Véquation des quatre tangentes communes aux deux coniques

ax^ -\- by^ -\- cz^ = o, a'x^ -f- b'y^ -f- c'-s* = o

On a ici

A = bc, B = ca, G = ab, et, par suite,

F = aa\bc' + b'c)x^ -\- bb\ca' -^ c'a)y^-^ cc\ab' -f- a'b)z^,

ce qui donne pour l'équation cherchée

[aa\bc' -h b'c)x^ 4- bb\ca' -h ca)y^ -h cc'(a6'-h a'b)z^Y = 4 abc àb'c'{ax^ -+- by^ H- cz^ )( a'x^ -f- b'y^ -h c'^*).

Cette équation se ramène facilement au produit des quatre facteurs X s/âôUfid) ±y }/bb\ca') ±l z ^cc\ab') = o.

378 a. Quand S et S' se touchent en un point/?, F est tangent à S et à S' en ce même point/?, puisque F passe par les points de contact de S et S' avec leurs tangentes communes. Il en résulte que si S et S' se touchent en deux points distincts, /> et ^r, F a un double contact avec S et S' suivant pq, et par suite (n® 252) que F est de la forme /S + m S' toutes les fois que S et S' ont un double contact ( * ).

On obtiendra donc les conditions nécessaires pour que deux coniques aient un double contact, en égalant à zéro

( ' ) Ces propositions résultent aussi de ce qu'en formant la fonction F des deux coniques cz^ -+- a hxy^ c'x* -h a h'xy, on obtient une expression 7cc'hh'z* -k- 2hh'{ch' -\-c'h) qui est de la même forme que les équations des coniques.

chacun des déterminants compris dans l'expression

OÙ Ton a désigné par a, b, c, . . . les coefficients de la fonction F (n®334) supposée ramenée à la forme

On peut encore démontrer, comme 11 suit, que les fonctions F, S et S' sont assujetties à une relation linéaire toutes les fois que S et S' ont un double contact. Quand S et S' se touchent en deux points distincts, il y a une valeur de k pour laquelle A*S + S' représente deux droites qui coïncident, et cette valeur de k est une racine double de l'équation

ou, ce qui revient au même, une racine commune à cette équation et à Téqualion

obtenue en égalant à zéro sa dérivée. D'ailleurs, la courbe réciproque de deux droites qui coïncident se réduisant à un point, on a

Â:*S-4-Â:$-hS'=:o,

et, si l'on élimine k entre cette équation et les précédentes, on obtient la relation identique

qui doit être vérifiée par S,$ etS'^ et qui implique nécessai-

rement, entre S, F et S', la relation

puisque les réciproques de deux coniques qui ont un double contact ont elles-mêmes un double contact (n® 304).

379. Nous avons sufBsamment indiqué, au commencement de ce Chapitre, ce qu'il fallait entendre par invariants; les deux derniers numéros vont nous permettre de préciser la signification du mot co{>ariant, Lorsqu'en partant des équations d'une courbe ou d*un système de courbes, on a formé celle d'un lieu U = o, dont la relation avec les courbes données est indépendante des axes auxquels elles sont rapportées, on dit que U est un covariant du système donné. Pour écrire l'équation de ce lieu par rapport à dé nouveaux axes, on peut suivre deux méthodes : i® transformer directement l'équation U = o ; 2? transformer d'abord les équations des courbes du système et déduire de ces équations transformées l'équation du lieu en suivant la même règle que pour déduire U = o des équations primitives. Ces deux méthodes conduisent évidemment au même résultat. Ainsi, en substituant

Ix 4- my -H 715, l'x 4- m'y 4- /i'<s, l''x 4- m'y -h n'z

à x^y^ z dans les équations des deux coniques S et S', pour les rapporter à un nouveau triangle de référence, et en partant des coefficients de ces équations transformées pour former l'équation F2 = 4 AA'SS' (n*^ 378), on obtient, à un facteur constant près, le même résultat qu'en transformant directement et suivant la même substitution l'équation F2 = 4^^'SS', établie d'après les équations primitives de S et de S' puisque cette équation représente dans l'un et l'autre cas les quatre tangentes communes à S et S'.

59^ CHAPITRE XYIII.

C^est cette propriété qui sert de base à la définition analytique des covariants, définition que nous reproduisons ici : Une fonction F, déduite d'une ou de plusieurs fonction données S, d'après une règle quelconque, est un covarianl, lorsqu'en transformant les variables de toutes les fonctions suivant une même substitution linéaire, la fonction F transformée ne diffère que par un facteur constant de la fonction F que l'on obtiendrait en appliquant la même règle aux fonctions S transformées.

Les invariants et les covariants d'un système de courbes ont cela de commun que leur signification géométrique est indépendante des axes auxquels sont rapportées ces courbes ; mais ils diffèrent en ce que les invariants ne sont fonctions que des coefficients, tandis que les covariants sont fonctions des coefficients et des variables.

380. Il est encore un autre cas dans lequel on peut prévoir le résultat d'une transformation par substitution linéaire. Supposons que nous ayons à former la condition pour que la droite \x + ^y -h v.3 soit tangente à une courbe, ou, plus généralement, pour qu'elle soit liée à une courbe ou à un système de courbes par une relation indépendante des axes auxquels ces courbes sont rapportées; il est évident que, si nous transformons les équations des courbes pour les rapporter à de nouveaux axes de coordonnées, la condition se formera au moyen des équations transformées, en suivant la même règle que pour la déduire des équations primitives. Mais l'expression de cette condition, par rapport aux nouveaux axes, peut aussi s'obtenir par une transformation directe de son expression primitive.

Soit

3l(^4-m/-Hn-5)-|- jx(/'a;-H m'y -^^ n! z) -{- ^i^^x -^ m'y -^^ n'z) = Vx ■+- \>.'y 4- v'5

INVARIANTS ET COVARIANTS DES 8YSTBMESDE CONIQUES. SgS

ce que devient Xo; -1- iJL^-|-v5 dans la transformation des courbes, on aura

X'== /X -h /'«x -h /"v, jx' = mX 4- m'jx -h m%,

par suite

X = LX' ■+■ LV + L%', jx = M X' 4- My h- M%'

cl en introduisant ces valeurs dans la condition obtenue primitivement en fonction de X,[i.etv, on trouvera en fonction de X', \t!, v' une expression de cette condition qui ne pourra différer que par un facteur constant de celle qu'on obtiendrait en partant • des équations transformées des courbes. Les fonctions que nous venons de considérer s'appellent des contrevariants. Les contrevariants ont cela de commun avec les covariants, qu'un contrevariant quelconque, comme, par exemple, l'équation tangentielle d'une conique (bc — /^) X^ 4- . . . = o,peut être, comme un covariant, transformé, par une substitution' linéaire, en une équation de même forme (èV — /'2)X'^-|- . . . = o, composée avec les coefficients de l'équation trilinéaire transformée de la conique. Mais ils diffèrent en ce que X, pi. et v ne doivent pas être transformés en suivant la même règle que pour^,j^, z, c'est-à-dire rem plaçant X par IX + /n|A + /iv, mais bien d'après la règle indiquée ci-dessus.

La condition $ = o trouvée au n® 377 est évidemment un contrevariant du système des coniques S et S'.

381. Il est facile de voir que l'équation trilinéaire d'une conique covariante de S et S' peut s'exprimer en fonction de S, S' et F, tandis que son équation tangentielle peut s'exprimer en fonction de S, S', $.

S. — Géom, à deux dim, 38

594 CUAPITRE XVIII.

Eiercicei.

1. Exprimer, en fonction de S, S' et F, l'équation de la conique réciproque de S par rapport à S'.

Les invariants et les covariants étant, d'après leur nature même, indépendants du choix des lignes de référencei nous pouvons supposer les deux coniques S et S' rapportées à leur triangle aulopolaire commun. On a alors

S = ax^ -h by^ -♦- c>5*, S' = a?* -t-/' -f- ^*,

ce qui aonne

et si l'on observe que la relation é>cX*H-cajjL'-+-a6v' = o exprime que la droite Xa?+ ff/ + v.8 est tangente à S, il vient, pour le lieu du pôle de cette droite par rapport à S',

bcx^ -4- cay^ -h abz * = o, ou bien

( 6c -t- ca H- a6 ) (a?« -i-^* H- ^* ) = f , c'est-à-dire (n» 371, Ex. 1)

es' = F.

On trouverait de même, pour l'équation de la polaire réciproque de S' par rapport à S,

2. Exprimer, en fonction de S, S' et F, la conique enveloppée par les droites que divisent harmonique ment S et S'.

Cette conique 4> = o a pour équation tangentielle

(6 H-c)X*H-(c-f-a)fjL«-H(a-f-6)v« = o,

et, par suite, pour équation trilinéaire

(c -h a)(a 4- 6)2r«-f-(a -f- 6)(6 -h c)7*-t-(c-f- a)(6 -hc).5« = o ou (6c -i- ca -H a6)(ar* •+-y* -4- .«*) 4- (a -H 6 H- c)(ax* 4- 6/« -f- c^*) = F,

INVARIANTS ET GOVARIANTS DES SYSTÈMES DB CONIQUES. 5g5

c'est-à-dire

eS'-t-e'S — F = o.

3. Former la condition pour que F représente deux droites. En égalant à zcro le discriminant de F, il vient

abc{b H- c){c H- a){^a 4- 6) = o, ou

abc'^{a -+-64- c){bc -h ca -{- ab) — abc] = o,

ce qui donne pour la condition cherchée

AA'(ee'— Ay) = o.

La relation 86'= AA' exprime aussi que 4> peut se ramener à un produit de deux facteurs. On peut voir, en outre, que cette relation se vérifie lorsque S et S' représentent deux cercles se coupant à angle droit; dans ce cas, en effet, toute droite menée par Tun des centres est divisée harmoniquement par les deux cercles, et le lieu des points d*où l'on peut mener aux deux courbes des tangentes formant un faisceau harmonique se réduit à deux droites. Il en est encore de même lorsqu'on a, entre la dislance D des centres et les rayons r et r', la relation D*= 2(r*-t- r'*).