X» = (3^ -+- 1)*, Y* = {IX — ^")«, Z» =-.(0? H
6. Former l'équation des tangentes menées à S par les points où cette courbe rencontre S'.
Réponse. (eS — AS')î= 4 AS(e'S — F).
7. Un triangle est circonscrit à une conique U, deux de ses sommets glissent sur deux droites fixes \x ■+■ ^y -+- v^, Vx-\-\}.'y -h v'-s ;
trouver le lieu du troisième sommet.
Lorsque la conique et les droites (n<> 272, Ex. 2) sont définies
respeclivement par les équations
z* — xy = o, ax — y = o, bx — y = o, le lieu est représenté par
Pour passer du cas particulier du n^ 272 au cas le plus général, il suffit de remarquer que le deuxième membre de cette équation est égal au carré de la polaire P de l'intersection des deux droites par rapport à la conique donnée et que la relation a + 6 = o, qui exprime que les droites sont conjuguées par rapport à la même conique, a pour expression générale (n* 373) 6 = o.
On aura donc pour l'équation générale du lieu
e»U-l-AP« = o, et, dans les conditions de l'énoncé, il faudra faire
P =(aa7-4- A^-+-^^)({jLv'— [l' ^) -\- (hx -\- by -h fz) (wV — v'X)
e = AXX'-hB(jL[jL'4-Cvv'
F([xv' 4- [x'v) -+- G(vX' + v'X)-+- H(X[x' + X» = o.
8. Un triangle est inscrit dans une conique S, deux de ses côtés sont tangents à S'; trouver Venveloppe du troisième côté.
Prenons pour lignes de référence les côtés du triangle considéré comme fixe, dans l'une de ses positions, et soient
S = 2(/r^ + gzx -f- hxy) = o,
S' = x^ -^y^ -hz^ — 2yz — ^'zx — ^xy — ihkxy = o,
les équations des deux coniques, a? et^ étant les côtés tangents à S'. La conique X:S-hS' est évidemment tangente au côté z; de plus, elle estjlxe. En effet, les invariants
e' = 2(/+ g -H A)(2 H- hk\ A' = —(2 -h AA-)* vérifient la relation
e'ï — 4eA = 4AyA-,
et l'équation ^S -4- S' ^ o prend la forme
(e'» — 4eA)S-+-4AA'S' = o,
598 CHAPITRE XYIII.
qui représente une conique fixe tangente au troisième côté du triangle. Lorsque 8'' = 4 ©A, le troisième côté enveloppe la conique S'.
• 9. Les trois côtés d'un triangle sont tangents à une conique U,
deux de ses sommets glissent sur une conique V; trouver le lieu
du troisième sommet.
La solution de ce problème peut se ramener aux trois opérations suivantes : former l'équation du couple des tangentes menées à U par le troisième sommet {^xf ^ y\ z^)\ trouver l'équation des droites qui joignent les points où ces tangentes rencontrent V; enfin, exprimer que l'une de ces droites, qui doit être le côté du triangle opposé au troisième sommet, est tangente à V. (Nous avons légèrement modifié la notation habituelle, afin de pouvoir représenter par U' et V les résultats de la substitution de a/, y\ z' à x, y, z, dans U et V.)
L'équation des tangentes peut se mettre sous la forme
UU'-P» = o,
P représentant la polaire de {af^y\ z') par rapport à U.
L'équation des cordes d'intersection de ces tangentes avec V s'obtient en exprimant que UU' — P* -f- X V se réduit à deux droite?, autrement dit, en égalant à zéro le discriminant de cette équation; on trouve ainsi, pour déterminer X,
XîA'-t-XF-+-AU'V' = o.
Pour exprimer qu'une de ces cordes d'intersection est tangente à U, il suffit de former (n» 372) le discriminant de jxU -4-(UU'— P* -4-XV), et d'écrire que l'équation en [x
ix2 A 4- |x(2U'A -h xe)+ u'« A -4- X(eu' -4- aV) -+- x«e' = o,
obtenue en égalant ce discriminant à zéro, a ses racines égales, ce qui
donne
X(4Ae' — e»)-H4A*V = o.
Éliminant X enire cette équation et l'équation obtenue plus haut, il vient pour le lieu cherché
i6A3A'V — 4A{4Ae'— e«)F-i-U(4Ae' — e«)« = o,
équation qui se réduit à V = o, lorsqu'on a 4 A6' = 0* (*).
( ' ) M. Cayley a publié dans le Quarterly Journal of Mathematics, T. I, p. 34^1, une étude sur le lieu décrit parle sommet d'un triangle circonscric
INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTEMES DE CONIQUES. Sgg
10. La base d'un triangle enveloppe la conique aU-H6V, tandis que ses extrémités glissent sur V, et que ses deux autres côtés roulent sur U ; trouver le lieu décrit par le troisième sommet.
En suivant la même marche que dans Texemple précédent, on voit que le lieu cherché est Tune ou Tautre des coniques inscrites dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes communes à U et à V, et définies par Téquation
AA'X» V -f- X(jlP -^ jjl» U = o, dont les constantes X et (x vérifient la relation
a(a6 — Pa)X» -h a(4Aa-^ 2e6)XfJL— 6*[jl« = o, où Ton a fait
a = 4AA', p = e» — 4Ae'.
1 1. Les n côtés d'un polygone roulent sur U, tandis que n — i de ses sommets glissent sur V; trouver le lieu du sommet libre, •
Ce problème se ramène au précédent, car la droite qui passe par les deux sommets adjacents au sommet libre est tangente à une conique du système a U -h 6V. Soient X', ji'; X', jx'; X", |x"' les valeurs de X et fjL correspondant aux polygones de n — i, de n, et de n -I- 1 côtés; on a
X'"= [aV«, [x"'= A'VX'(atp.'— A'pX'),
et ces relations suffisent pour calculer de proche en proche les valeurs de X et (x relatives à un polygone d'un nombre quelconque de côtés, étant donné que l'on a respectivement X'= a, [jl' =s A'p, et X'= p^, jx'= a(4Aa-^ 2^0), pour le triangle et pour le quadrilatère ( 1 ).
1*2. Les polaires des milieux des côtés d'un triangle, prises par rapport à une conique inscrite, forment un triangle dont l'aire est constante (iM. Faure).
à une conique S, et dont les deux autres sommets glissent sur des courbes données. Lorsque ces courbes sont toutes deux des coniques, le lieu est du huitième degré, et touche S aux points où il est rencontré par les polaires , prises par rapport à S, des intersections des deux coniques. (•) Voir PMlosophical Magazine, T. XIII, p. 337.
On peut démontrer ce théorème en s'appuyant sur les théorèmes suivants, dus à M. Walter.
L'aire du triangle qui a pour côtés les polaires de trois points quelconques P, Q, R, prises par rapport à une ellipse est égale à
(QOR) représentant Taire du triangle qui a pour sommets les points Q, R, et le centre O de Tellipse.
Quand P, Q, R sont les milieux des côtés d'un triangle circonscril, on a, en désignant par a, p, y ^^^ angles excentriques correspondant
aux points de contact,(QOR) = - ab tang- ( p — y)-
i3. On joint par des droites chacun des sommets du triangle de référence aux points où le côté opposé rencontre une conique; trouver la condition pour que ces droites passent trois à trois par un même point,
Réponse, abc — "^fgh — af^ — bg^ — cA* = o.
382. La théorie des invariants et des covariants permet de trouver assez facilement les formules qui correspondent, en coordonnées trilinéaires, aux formules que Ton rencontre le plus habituellement en coordonnées cartésiennes.
La condition pour qu'une droite quelconque \x H- \x.y 4-v passe par un des points cycliques, ou, ce qui revient au
même, soit parallèle à l'une des droites x±y\J — i, peut évidemment se mettre sous la forme X* + jx^ = o, et celte équation doit être considérée comme Téquation tangentielle des points cycliques. On peut donc former le discriminant de S + A' (X- -h {;.'), S représentant Téqualion tangentielle d'une conique; et, si l'on compare ce discriminant, qui se réduit à
A« -^k\{a-^b)-^ k^ab — A'),
au discriminant de S H- A" S', qui a pour expression générale
INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 6oi
on reconnaît sans peine que, dans un système quelconque de coordonnées, une conique est une hyperbole équilatère ou une parabole, suivant que Ton a 0' = o ou 0 = o, 0 et 0' étant les invariants du système formé par cette conique et par les points cycliques. Pour que la conique passe par un des points cycliques, il faut que l'on ait
(a4-6)*=4(a6 — A*) ou (a— 6)'-h 4/i» = 0
et cette condition ne peut être remplie par des valeurs réelles que si la conique passe à la fois par ces deux points, car alors a = 6, A = o.
La relation X^ + pt^ = o (*) exprime (n° 34) que la dislance d'un point quelconque à une droite quelconque passant par un des points cycliques est toujours infinie. La relation équivalente, en coordonnées trilinéaires, s'obtiendra donc en égalant à zéro le dénominateur de la fraction qui représente la distance d'un point à une droite (n® 61 ); ce qui donne pour l'équation tangentielle des points cycliques, dans sa forme la plus générale,
X' + {JL* -h v' — 2u.vcosA — 2vXcosB — 2X;xcosC = 0.
Pour obtenir les conditions qui correspondent, en coordonnées trilinéaires, aux conditions a -+- 6 == o, . . . , il suffit donc de reprendre le calcul des invariants 0, 0' en substituant à S' l'équation que nous venons de trouver. On a ainsi pour la relation 0' = o, qui exprime que la conique estunehyper-
(') Celte condition exprime aussi (n* 25) que toute droite passant par un des points cycliques est perpendiculaire à elle-même. On peut, en partant de là, expliquer la présence, dans les équations de certains lieux, de facteurs en apparence étrangers; comme, par exemple, celle du facteur {X — a)'-h(^ — p)* dans l'équation du lieu des projections d'un foyer (a, p) sur les tangentes. La perpendiculaire abaissée du foyer sur l'une ou l'autre des tangentes issues du foyer coïncidant avec cette tangente, la tangente doit nécessairement faire partie du deu.
Goa CnAPITRB XVIII.
Ijole éqiiilatère,
et pour la condition 0 = o, qui exprime que la conique est une parabole,
A sin« A -+- B sin«B -h C sin»C
2F sînB sinC •+- 2G sinC sinA M- 2II sîn A sinB =:o.
Quant à Téquation 0'^ = 40, qui exprime que la conique passe par un des points c^^cliques, on peut la ramener de diverses manières à une somme de carrés.
383. Quand le système de deux coniques pour lequel on forme le covariant F se réduit à une conique et à un couple de points, F représente le Heu des centres des faisceaux harmoniques qui ont pour rayons les tangentes à la conique et les droites aboutissant aux points du couple ; lorsque ces points se confondent avec les points cycliques, F représente le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. Il sufBra donc, pour obtenir Téquation de ce lieu en coordonnées cartésiennes, de former le covariant F, en supposant S' = X^ + \k^, ou, ce qui revient au même, défaire A' =B'= i et C = D' = F' = G' = H' = o dans l'expression générale de F (n® 378). On retrouve ainsi l'équation du n® 294 (Ex.)
C(^* -+-/*)— 2Gjr — 2F/-i- A-h B = o.
Quand la conique est une parabole, on a G = o, et le lieu se réduit à la directrice, dont l'équation prend la forme
2(G^H-F^) — A-hB.
On trouve de même pour l'équation trilinéaire correspondante
(B -hG + 2FcosA)a:*
(Gh-A4-2GcosB)x*
INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 6o3
-H(A + B-+-2HcosC)^*
