G cosG — H — F cosB — G cos A) xy = o

et l'oQ peut voir, comme au n® 128, que cette équation représente un cercle, en la mettant sous la forme

( r sio A -h j sinB -h z sinG)

B4-C-f-2FcosA G-4-A-h2GcosB A-t-B-haHcosG

\ sinA smB "^ smC

= ~^ — a — ' I» ' ,, (v^sinA +>s.rsinB -i-37VsinG). (*) sinAsinBsjnG ^^ / / n /

Si Ton y fait 0 = o, ce qui exprime que la conique (n® 382 ) est une parabole, on obtient Téquation de la directrice.

384. L'équation S -f- A" S' == o représente en général une conique inscrite dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes communes à S et S'; lorsque, par suite d'une valeur particulière de A*, S -{- A:S' se réduit à un couple de points, ces points coïncident avec deux des sommets opposés du quadrilatère. Dans le cas oii S' représente les points cycliques, et S -j- A:S', un couple de points, ces derniers points sont les foyers de S (n® 279). Pour trouver les foyers d'une conique définie par une équation numérique en coordonnées cartésiennes, il suffit donc de déterminer les valeurs de k qui satisfont à l'équation du second degré

(') On peut encore, ainsi que M. Cathcart l'a indiqué, mettre cette équation sous la forme

es — (L«-i-M«H-N^ — aMNcosA — 2NLcosB--aLMcosC),

en posant

h^ax-\rhy-\-gz^ M = hx-hby-\-/z, N = gx + /y -\- cz.

6o{ CHAPITRE XVIII.

exprimant que le Heu représente deux points ; en portant l'une ou Tautre de ces valeurs dans l'expression S -{-Xr(X^ -H |x^), elle se décompose en deux facteurs

qui donnent pour les coordonnées des foyers ~> /> ~#' *-»*

JZ JS s JZ

L'une des valeurs de k correspond aux foyers réels, l'autre aux foyers imaginaires. Le procédé que nous venons d'employer est évidemment applicable aux coordonnées trilinéaires.

On peut aussi procéder comme il suit.

L'équation 2-hA-(X^-j-iJi.^)=o représente généralement en coordonnées tangentielles une conique confocale de la conique S; en formant (n® 283) l'équation correspondante en coordonnées cartésiennes, on trouve, pour l'équation générale des coniques confocales à S,

AS -+- A-[C(^* 4-7«) — 2Ga? — 2Fj -h A 4- B] 4- A- =r o,

et, par suite, pour les tangentes communes à ces coniques,

[G(a?» 4-7») — aGo? — 2F7 4- A 4- B]« =r 4 AS;

il suffira donc de décomposer cette équation en deux facteurs

pour obtenir les coordonnées a, ^; a', P' des foyers de S*

Exercices.