Trouver les foyers de la conique

2X^ — 2ary 4- 27» — 2 x — 87 4- 11 =0. L'équation dd second degré en k est alors 3A*4- 4^^ -^ ^' = o» d'où Ton lire )f = — A, A-' = --|a; d'ailleurs A = — 9. En partant

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTEMES DE CONIQUES. 6o5

de la valeur Ar' = 3, on trouve

6X*H-2ifx*-^ 3v*-f- iSfjLv-hiavX -h 3oX|H-a(X«-f- jx«) = 3(X-h2fxH-v)(3X-^4|xH-v),

ce qui donne (i, 2), (3, 1) pour les foyers. La valeur A:' = 9 correspond aux foyers imaginaires (2 ± / — i, 3 zf. ^ — i).

2. Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole définie par une équation en coordonnées cartésiennes.

L'équation du second degré en k se réduit au premier, et l'expression

(a -f- 6) [ AX» -+- B (A* -+• 2F jxv -f- aGvX -f- aHXfx] — A(X« -h [x')

peut se décomposer en deux facteurs, qui sont

Le premier donne le foyer situé à TinOni et montre que l'axe de la courbe est parallèle à Fx — Gy. L'autre foyer a pour coordonnées les coefficients de X et {jl dans le second facteur.

3. Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole définie par une équation en coordonnées trilinéaires.

Ces foyers sont représentés par l'équation

e'2 = A{X*-+- JJL*-i-V«— 2[XV cosA — - 2vX cosB — 2X(jlcosG).

Les coordonnées du foyer situé à l'infini sont connues (n<> 293), puisque ce foyer est le pôle de la droite à l'infini; on a donc, pour les coordonnées de l'autre foyer,

A sin A H- H sin B -h G sin G ' H sin A -4- B sin B -h F sin G '

G sin A -h F sin B 4- G sin G '

385. La condition (n° 61) pour que deux droites soient perpendiculaires entre elles

XX' -h [xix' 4- vv' — (;xv' 4- ja'v) cosA — (vX' 4- v'X) cosB

~ (X|jl'4- X'jjl) cosC = o

6o6 CHAPITRE XVIII.

exprime en même temps (n® 293) que ces droites sont conjuguées par rapport à la conique

A* -i- [A* -h v' — 2 UV COS A — 2 vX COSB — 2 Xjl COsC =z o.

La relation qui existe entre deux perpendiculaires n'est donc qu'un cas particulier de la relation que vérifient deux droites conjuguées par rapport à une conique fixe. Ainsi le théorème : Les Crois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point y n'est qu'un cas particulier du suivant : Les droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles polaires par rapport à une conique se coupent en un ménie point.

En Géométrie sphérique (*), les points cycliques sont remplacés par une conique imaginaire fixe ; tous les cercles tracés sur la sphère peuvent être considérés comme des coniques ayant un double contact avec une conique fixe, le centre du cercle étant le pôle de la corde de contact; deux lignes sont perpendiculaires lorsque chacune d'elles passe par le pôle de l'autre par rapport à cette conique ; ... Il en résulte que les théorèmes, que la méthode des projections nous a permis de généraliser en faisant correspondre les points cycliques à deux points quelconques, peuvent recevoir une extension plus grande encore, en substituant une conique aux points cycliques. Toutefois il ne faut pas perdre de vue que les théorèmes auxquels on arrive de cette manière ne sont, en quelque sorte, que des théorèmes entrevus, et ne sauraient être considérés comme des théorèmes démontrés. C'est par une induction de cette nature, et en partant du théorème : Le point de concours des hauteurs d'un triangle inscrit dans une hyperbole équilatère appartient à Vhyperbole, que nous avons été conduit aux propriétés des coniques

(*) Voir la Géométrie à trois dimensions de M. G. Salmonj Chap. I\

assujetties à la relation 6=0; aussi avons-nous cru devoir démontrer directement ces propriétés à la fin du n" 373.

Nous avons démontré précédemment (n® 306) qu'il y avait un certain nombre de théorèmes sur les systèmes de cercles, auxquels on pouvait faire correspondre des théorèmes concernant les systèmes de coniques ayant un double contact avec une conique fixe. Nous allons faire connaître maintenant les principales recherches analytiques auxquelles ont donné lieu ces systèmes de coniques.

386. Former la condition pour que la droite'^KX -i- jjl/ 4- v5 soit tangente à la conique S + {Vx + ^'y + v'^)^.

Pour former cette condition, il suffît de remplacer, dans S, les constantes a^bjC, ... par a + X'*, b -\- p.'-, . . . , ce qui donne

S-h[a([Av' — p.'v)' -+- ...] = o;

la quantité entre parenthèses indiquant le résultat de la substitution de [xv' — [JL V, vX' — v'X, X'/ — XV k x, y^ z dans S. Cette équation peut se mettre sous une autre forme : nous avons, en effet (n® 294), démontré l'identité

(ax--h bf* 4- ...) (flj:'* -h ^y -h ...) — {axa/ -h byf -h ...)"

et, en effectuant dans S une substitution analogue à celle que nous avons faite dans 2, on obtient la relation

( A.X» -h BjA» -h . . .)(AV* + B{x'* -h . . .) — (AXX' -+-...)' = A[a(|jLV-— [x'v)*H ],

dans laquelle (AXX' -+-•..) est le premisr membre de l'équation

AXX' + BjjLîx'-i-Cvv' -t- F(W -+- ix' v) -f- G(vV -¥- v'X) + II(X|x' + XV) =z o,

qui exprime que les droites \x + [xj^ -H v>s, X'^ -t- |jl'^ + y/z

6o8 CHAPITRE XVIII.

sont conjuguées. En posant alors

S' = AX'= M- B{jl'« m- . . ., U— AXV -h B{X{i.' + . . .,

et remplaçant, dans l'expression S + [«(jav' — |jl'v)^ -4- . . . ] = o, (âTfjLv' — iJL'v^-+- -.-) par la valeur que nous venons de trouver, il vient pour la condition cherchée

(A-hS')S — n*=rO.

Cette équation, où l'on peut (n" 321) considérera, jjl etv comme les coordonnées d'un point de la conique réciproque de S -h {yjx -\- ^y -4- v'^z)^, fournit une démonstration analytique du théorème du n® 304 : Le système réciproque de deux coniques ayant un double contact se compose de deux coniques ayant également un double contact.

On peut enfin mettre cette condition sous une forme plus commode pour quelques applications, en définissant les droites X^ -f-|xj^ -j- v-3, . . . non plus par les coefficients >w, (jL, V, . . . mais bien par les coordonnées de leurs pôles par rapport à S, et en écrivant que la droite P' est tangente à la conique S-f-P"*, P' et P" représentant respectivement les polaires de {x'^y'^ z) et de (x", y, z^) par rapport à S.

Lorsque le point {x\y^ z') est situé sur la conique S, la polaire de {x^^y'^z') est évidemment tangente à S, et le résultat obtenu, en substituant les coefficients S|, S2, S3 des termes en x, y^ z de l'équation de la polaire (n® 291) aux coefficients de X, jx, v dans S, est égal à AS' (n® 285); d'ailleurs, quand deux points sont conjugués, leurs polaires par rapport à S sont conjuguées, et le résultat obtenu en substituant comme ci-dessus S^^ S2, S3 à X, [jl, v dans la fonction II, est égal à A R, R désignant le résultat de la substitution des coordonnées de l'un des points (x^^y'^ z), (x^^y^j^) dans l'équation de la polaire de l'autre. La condition pour que P' soit une tangente de S 4- P''^ peut donc s'écrire

(l-i-S'')S'=rR«.