Former la condition pour que les deux coniques

soient tangentes l'une à l'autre.

Ces coniques se touchent lorsqu'une de leurs cordes communes

(Vx + jjl'7 ■+■ v'^) dz (X'^x -h jx'/ + v'^iî)

est tangente à l'une des coniques; on obtiendra donc la condition cherchée en remplaçant, dans la condition trouvée précédemment, X par "h! ±y^ ] il vient ainsi

(A H- S')(S' ±: 2n -h S*^) = (S' dt n)-,

qui peut se mettre sous la forme plus symétrique

On trouverait de même que les deux coniques S -f- P'-, S -h P''*^ se touchent quand on a la relation

(n-S')(i+S'')rr=(i±R)».

Exercices.

1. Décrire une conique S -t- P* qui ait un double contact avec S, et qui soit tangente à trois coniques données S -\- P'*, S -f- P'*, S -h P"'*, ayant elles-mêmes un double contact avec S.

Soient X, jKj ^ ïes coordonnées du pôle de la corde de contact de S avec ]a conique cherchée S -h P*; on aura les équations

(1 + S)(I + S') = (I+P'A (i-hS)(l+S') = (l-t-P';î,

dans lesquelles S', S% S'* sont des constantes connues, tandis que

S, P', ... renferment les coordonnées ar, y^ z du point cherché. Si

l'on pose

il vient

kk!^i-\-r, ^^=n-P', ^^"' = n-P",

S. — Céom, à deux dim, 33

6lO CHAPITRE XVIII.

et en observant que P', P^ P*', k^ k^, kT comportent le double signe, on voit que le problème, eu égard à la combinaison de ces signes, admet trente-deux solutions. Les équations précédentes donnent

et, eii éliminant A*, on obtient l'équation '

P'(;t'— A^)-hP'(A:"'-^')-^-P"'(^-^"')=o,

qui est celle d'une droite sur laquelle doit se trouver le pôle par rapport à S de la corde de contact de la conique cherchée. Elle est évidemment vérifiée par le point P' = P' = P*" qui est un des centres radicaux (n«» 306) des coniques S -+- P'«, S -f- P*», S -t- P"».

Celte équation est aussi vérifiée par le point 77 = p" = Xw dont

nous allons chercher la signification géométrique. D'après le n« 38^s les équations tangenliclles des coniques S + P'*, S -h P** sont respectivement

(n-S')S = A(Xa:'-h[xyH-vy)«, (n-S')2=A(Xa7'4-|iy-f-vV)«,

et réquation

l i£ -^ Lj =3 o

représente les points d'intersection des tangentes communes à S + P'* et à S -h P'*; ces points, dont les coordonnées sont p 4- tj' ' ' •» ont

pour polaires, par rapport à S, p ±: x»- Donc xr = tj = tsf représente le pôle par rapport à S de l'un des axes de similitude (noSOG) des trois coniques données.

Par conséquent le pôle de la corde de contact cherchée se trouve sur l'une des droites qui joignent un des quatre centres radicaux au pôle, par rapport à S, d*un des quatre axes de similitude. Ce théorème n'est du reste qu'une extension du théorème énoncé à la fin du n^ 118.

Pour compléter la solution, nous chercherons les coordonnées du

point de contact de S -h P* avec S -h P'*. Soient t — 75» •••» '^* coordonnées de ce point, qui est un centre de similitude des deux

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTEMES DE CONIQUES. 6u

coniques; en remplaçant a? par x-^- p^'i <ïans ArA:' = 1-4- P', ... et^

désignant par R et K ce que devient Féqualion de la polaire de {a/,yyjs') lorsqu'on substitue a?', y*, js'; sp^^y"', z^ aux coordonnées courantes, on a

U-' = i-+-F-H^,S', A:r=H-P'-*-|>R, A-r = i-HP'^H- ~R';

par suite

yt(^'-A'"')=P'-P"'-^^,(S'~R'), d'où, en éliminant k^

Cette équation représente une droite sur laquelle doit se trouver le point de contact cherché. Cette droite joint évidemment un des centres radicaux au point défini par les équations que l'on obtient en exprimant que P', P', P'" sont respectivement proportionnels

à k--j^, ^""jf' '^'"""F' ^" ^^^^ ^ ^' ^A^-R, Ar'r— R'. Et comme les polaires par rapport à S H- P'* des trois centres de similitude des coniques S -h P'*, S 4- P'*, S + P'"* ont pour équations

(^fif — R)P'=P', (A-'A:'"-R')P'=P'", ...,

la droite cherchée s'obtiendra en joignant l'un des quatre centres radicaux au pôle, par rapport à S + P'*, d'un des quatre axes de similitude. Cette construction pourrait aussi, d'après le procédé indiqué au n<* 121, se déduire géométriquement des théorèmes du no 306. Les seize droites qu'on peut mener de cette manière rencontrent S -f- P'* en trente-deux points, qui sont les points de contact des coniques satisfaisant aux conditions du problème (*).

(') La solution que nous venons de donner ne difTère pas au fond de celle qui a été indiquée par M. Cayley {Crelle^ t. XXXIX}. M. Casey {Proceedings 0/ the Royal Irish Academy^ 1866) a présenté

6ia CHAPITRE XVIII.

2. Les quatre coniques qu'on peut mener par trois points fixes de telle sorte qu'elles aient un double contact avec une conique donnée S, sont tangentes à quatre coniques qui ont aussi un double contact avec S (^).

Soit

S = 37* -+-/* -4- -«' — 'i.yz cos A — 1XX cosB — ixy cosG ;

les quatre coniques passant par les trois points fixes ont pour équation

S — {xàzyàzzy =o

et sont tangentes à la conique

S — [a: cos(B — C) H-j'cos(G — A) 4- ^cos(A — B)]« = o

ainsi qu'aux trois coniques obtenues en changeant successivement clans cette équation les signes de A, B et C.

3. Les quatre coniques qu'on peut mener tangentiellement à trois droites fixes x^ y, Zj de telle sorte qu'elles aient un double

une autre solution en se basant sur des considérations de Géométrie sphérique, et en montrant parla méthode indiquée au n* 121 (a) que les sinus des moitiés des tangentes communes à quatre cercles tracés sur la sphère, et tangents à un cinquième cercle, vérifient la même relation que les tangentes communes à quatre cercles tracés sur un plan et tangents à un cinquième. Il en résulte que, si les équations

représentent trois cercles tracés sur une sphère (G. Salmon, Geometry of three dimensions, Chap. IX], les cercles qui leur sont tangents doivent vérifier la relation

et cette relation fournit évidemment une solution du problème posé à l'exercice I.

M. Salmon a donné de cette relation une démonstration directe que Ton trouvera à la fin du volume.

(') Cette extension du théorème de Feuerbach (131, Ex.) peut recevoir une extension plus grande encore. Voir Quarterly Journal of Mathematics, t. VI, p. 67.

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTEMES DE CONIQUES. 6l3

contact avec S, sont tangentes à quatre coniques qui ont aussi un double contact avec S.

Si l'on pose M = - ( A -h B -H C), les quatre premières coniques

sont données par l'équation

S — [x sin(M — A) -4-7 sin(M — B) -+- ^ sin(M — G)]» = o

et par les équations qu'on en tire en y changeant successivement les signes de A, B et G. Les quatre autres coniques sont représentées par Téquation

^ r sinlBsin|G sinjGsiniA siniAsinJBl»

L sinlA -^ sin^B sin^G J

et par les équations qu'on en déduit en y changeant le signe de â?et augmentant de 1800 les angles B et G, ....

4. Former la condition pour que les trois coniques U, V, W aient un double contact avec la même conique.

Gette coifdition s'obtient eh éliminant \ p. et v entre l'équation

A X' — eX« jA -h e'X[i« — A'jjL» = o

et les deux équations correspondantes qui expriment que les coniques jaV — vW, vW — XU se réduisent à deux droites.

388. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur la théorie des invariants et des covariants des systèmes de trois coniques, théorie dont l'étude complète nécessite la connaissance des propriétés des courbes du troisième degré.

Le lieu du point dont les polaires, par rapport à trois coniques données U, V et W, concourent en un même point, est une courbe du troisième degré, qu^on appelle le Jacobien des trois coniques.

En éliminant x^ y^ z entre les équations des trois polaires

M^x -h U,7 -h Us^ — o, V, or -h V,7 -+- V| ^ = o, W,^H-W,7-hW,^ = o,

Cl4 CHAPITRE XVIII.

on oblient, en effet, pour Téquation du lieu, U| ( V,W, - V,W,) 4- U, ( V,W, - V,W,) + U,( VtW, - V,W,) =0.

Il est d'ailleurs évident que si les polaires d'un point quelconque, prises par rapport à U, V, W, se coupent en un mêmp point, il en est de même des polaires prises par rapport à toutes les coniques du système /U -4- m V H- n W.

Lorsque les polaires, par rapport à toutes ces coniques, d\in point A du Jacobien passent par le point B, la droite AB est divisée harmoniquement par toutes les coniques, et, par suite, la polaire de B passe par le point A. Le point B appartient donc au Jacobien, et on dit qu'il correspond au point A.

La droite AB est évidemment coupée en involution par toutes les coniques, et les points A et B sont les points doubles de cette involution; il résulte de là que, si une conique du système est tangente à AB, ce ne peut être qu'en un des poinh A et B ; et que, si une conique se réduit à un couple de droites se coupant sur AB, l'intersection de ces droites ne peut se trouver qu'en A ou B, à moins que la droite AB ne fasse ellemême partie du couple.

On peut, du reste, démontrer directement que, lorsque /U -|- mV-|- /iW représente deux droites, ces droites se coupent sur le Jacobien. Leur intersection (n® 292) vérifie, en effet, les trois équations

/U, -h m V, -+- n W, - 0, /U, + m V, -h /iW, = o,

/U, -+- m Vj -f- /iWj = o,

et en éliminant /, m et /i, on retombe sur l'équation même du Jacobien.

La droite AB, qui joint deux points correspondants du Jacooien, rencontre cette courbe en un troisième point, et il résulte de ce que nous venons de dire que la droite AB appartient au couple de droites issues de ce point, et compris dans le système /U -}- /nV -h /i W.

INVARIANTS ET COVARIANTS DBS SYSTEMES DE CONIQUES. 6l5

L'équation générale du Jacobien, qu'on désigne habituellement par la lettre J, peut s'écrire de la manière suivante :

-[{caf)-^-{cgh)]z^x-[^bcg)-^-{chf)]z^y

— [{abc)-^'i{fgh)]xyz — o,

en représentant, pour abréger, par {abc) le déterminant des neuf coefficients a, è, c, a', 6', c', a", 6", c".

Le Jacobien est un covariant qui est du même degré par rapport aux coefficients et par rapport aux variables.

Exercices.

1 . Faire passer par quatre points une conique qui soit tangente à une conique donnée W.

Supposons les quatre points définis par l'intersection des deux, coniques U et V. Le problème admet six solutions, puisqu'en remplaçant a, ... para + A:a', ... dans la condition (n<^372) qui exprime que U et W se touchent, on obtient une équation du sixième degré en k. Le Jacobien de U, V et W coupe d'ailleurs W aux six points de contact cherchés, puisque la polaire du point de contact, par rapport à V, étant aussi sa polaire par rapport à une conique du système XU-I-(aV, passe nécessairement par Tintersection de ses polaires prises par rapport à U et à Y.

2. Lorsque trois coniques ont un triangle autopolaire commun, leur Jacobien se réduit à trois droites.

Il est facile de vérifier, en effet, que les trois coniques ax*-{-by^-\-cz^ = o, a'x* -i- 6y» H- c'z' = o, a'a:* -f- 6'/* -h c'^» = o, ont pour Jacobien xyz = o.

3. Lorsque trois coniques ont deux points communs, leur Jacobien se réduit à une droite et à une conique passant par ces deux points.

6{6 CHAPITRE XVIll.

Il est géométriquement évident qu'un point quelconque de la droite menée par les deux points satisfait aux conditions du problème ; le théorème peut d'ailleurs se vérifier facilement par l'analyse. Dans le cas où les coniques sont des cercles, le Jacobien n'est autre chose que le cercle qui les coupe orthogonalement.

4. Le Jacobien se réduit encore à une droite et à une conique lorsqu'une des fonctions S est un carré parfait L*.

En effet, L est un facteur du lieu : On peut donc mener quatre coniques qui soient à la fois tangentes à une conique donnée S' aux deux points C S', L), et tangentes à S', l'intersection du lieu avec S' déterminant les points de contact.

Lorsque les trois coniques sont : une conique, un cercle et le carré de la droite à l'infini, le Jacobien passe par les pieds des normales qu'on peut mener à la conique par le centre du cercle.