Le Jacobien cfe H (no 386), 2 c/ (n

ti = X* -t- jA* -h v' — a jAv cosA — 2vX cos B — aXfxcosC

est une parabole qui touche, à la fois, la droite Vx -i- ^y -\- v'^, les normales menées à la conique aux points où elle est coupée par cette droite, et les axes de la conique.

388 (a). La notion du Jacobien va nous permettre de compléter la théorie de deux coniques. Nous avons vu qu^un système de deux coniques S et S' a quatre invariants A, 0, 0', A' et un covariant F, mais ce système admet en outre un covariant cubique ou covariant du troisième degré. Le triangle autopolaire commun à S et S' est, en effet, aulopolaire par rapport à F (n® 381, Ex. i); et il résulte de là que le Jacobien de S, S' et F, qui est un covariant cubique, représente les trois côtés de ce triangle aulopolaire (n® 388, Ex. 2); il résulte, en outre, du n® 378 (a) que J est identiquement nul lorsque S et S' ont un double contact.

Pour trouver l'équation des côtés du triangle autopolaîre commun à deux coniques S et S', nous n'avons donc qu'à former le Jacobien J de S, S' et F; cette méthode diffère

n>fVAR1ANTS ET COVARUNTS DBS STSTÈMES DE CONIQUES. 617

assez notablement de la méthode indiquée au n" 381 (Ex. 4) ; en comparant les résultats fournis par les deux méthodes on obtient Tidentité suivante (*) :

jî ^ F» — F= (0S' -h 0'S) -h F( A'0S« 4- A0'S'«)

T{e& — 3AA')SS' — A'^AS» — AA'«S" A' (2 A0' — 0»)S«S' H- A (2 A'0 — 0'*)SS'«.

Nous voyons ainsi qu'un système de deux coniques admet, indépendamment des quatre invariants, quatre covariants S, S', F, J, et que toutes ces fonctions sont reliées entre elles par l'équation que nous venons d'écrire. On verrait de même que ce système admet quatre contreva riants S, S', $, F, et que le dernier de ces contrevariants, qui représente en coordonnées tangentielles les trois sommets du triangle autopolaire commun, est lié à S, S', $ et aux invariants par une relation analogue à celle qui relie J à S, S', F et à ces mêmes invariants.

Exercices.

1. Écrire les douze /ormes relatives aux coniques x^ -\-y^ -h z' = o, ax^ -^Py^ -+■ ^-2* = o.

A = x, e = aH-ÔH-c, 6' = bc -h ca-^aby M = abc,

S =x^ -h^» H- z^j S' = ax^ -h by^ H- cz^, F = a{b -\-c)x^ -\- b{c ■+- a)y^ -+- c{a H- b)z^,

J ={b — c)(c — a){a-- b)3ryZy

2 = X» -4- jx* H- V*, 2' = bc\^ -+- capi» H- aôv»,

* = (6h-c)X* -hXc-i-a)[jLï-h(aH- 6)v*,

(*) M. Cathcart a fait remarquer que celte identité n'est qu'un cas particulier de la relation

4 A AA^U VW -h r,r,,F3 - AUF, - A' VF, - A'WFg = P

à laquelle sont assujettis les invariants des trois coniques, et où I — o représente (n* 388 c) le lieu des points tels que les tangentes menées par l'un d*euic aux trois coniques forment un faisceau en involution.

6l8 CHAPITRE XVIII.

2. Trouver une expression de l'aire du triangle autopolaire commun à deux coniques.

Le carré de celte aire est donné par (n» 372) M* sin*A sin'B sin^G p^ >

ou M représente Taire du triangle de référence, et V*, le résultat de la substitution, dans F, des coordonnées sin A, sinB, sin G de la droite à l'infini aux coordonnées courantes X, p., v. Il est d*aiileur5 évident que cette expression doit contenir au numérateur la condition de contact (n^ 372), et au dénominateur la quantité T, puisque l'aire cherchée devient nulle quand les coniques se touchent, et infînie lorsque l'un quelconque des sommets du triangle passe à rinfîni.

388 (6). Nous avons déjà indiqué ce qu'il fallait entendre par co variants et par contrevariants. Les co variants sont des fonctions en x^y^ z qui s'annulent lorsqu'on y substitue les coordonnées des points d'un lieu ayant quelque relation permanente avec la courbe ou les courbes primitives; les contrevariants sont des fonctions qui, étant égalées à zéro, expriment les relations auxquelles doivent satisfaire les coordonnées tangentielles X, |x, v d'une droite, pour que cette droite jouisse, par rapport à la courbe, ou aux courbes primitives, de propriétés indépendantes du triangle de référence. A ces deux espèces de fonctions, il convient d'ajouter les fonctions qui contiennent les deux séries de variables x^ y\ z\ X, jji., v; et auxquelles on a donné le nom de covariantsmixtes.

Les covariants mixtes du système de deux coniques S et S' peuvent aussi être considérés comme les covariants du système formé par les deux coniques et la droite \x -{- ^y 4- vz. En formant le Jacobien de ce système, ce qui revient à déterminer le lieu des points dont les polaires par rapport à S et S' se coupent sur \x -H [ji/ -h v-s, on obtient, en effet, un covariant

m!\le N qui a pour expression générale

Sj s. S,

et se réduit à

X{b — c)yz -+- [J!.(c — a)zx -h>^{a — b)jpy

quand S et S' sont données sous la forme canonique (^).

A la fonction N correspond évidemment une fonction réciproque N', que Ton obtient en opérant de la même manière sur 2 et S', et dont l'expression, pour la forme canonique, se réduit à

ajAv(^ — c)a:H- 6vX(c — a) y -h cXjjL(a— b)z;

en égalant cette fonction à zt^TO, on obtient l'équation de la droite joignant les pôles de X:r-+- [jl/-|- v^ par rapport à S et à S'.

Étant donnée une droite quelconque X^ -j- [;.j>' + v5, on peut prendre son pôle par rapport à S, puis déterminer la polaire de ce pôle, par rapport à S'; on obtient ainsi une tigne associée K qui est définie par

a\x -h b[Ly -+- CV5

dans le cas de la forme canonique. On obtient de même une autre ligne associée K', ou

bcXa^ + caiLV -h ab^z,

en prenant le pôle de Xx 4- [i.^ -+- v2 par rapport à S', puis la polaire de ce pôle par rapport à S.

(') La forme canonique est la forme la plus simple à laquelle une fonction puisse être ramenée sans perdre de sa généralité. Dans le cas particulier des fonctions ternaires du deuxième degré, la forme canonique est aa?' -h fr^' -h c^', ou plus simplement a:' -h^' -+- J*. Voir VAlgèbi'e êupérieure de Salvon; Édition française, X(I* leçon.

Gordan a démontré (*) qu'un système de deux coniques admet, en tout, huit covariants mixtes, et que tous les autres concomitants {^) du système pouvaient s'exprimer en fonction de ces covariants et des formes énumérées précédemment (n*»388 a, Ex. i).

Aux quatre covariants mixtes indiqués ci-dessus on peut ajouter le Jacobien de K, S et "kx -f- [jl/ 4- vs dont rexjiression, pour la forme canonique, se réduit à

ainsi que le Jacobien de K', S' et Xx + [ly + v^

fLva*(6 — c)j: -H vX^-(c — ci)y -+- Xjxc*(a — b)z\

et, en y joignant les deux formes réciproques

X ayz {b — c) -+- fjL bzx ( c — a ) -H v cxy {a — b), ^bc{b — c)yz •+- ixca{c — a)zx -\- wab{a — b)xy ,

on a tous les éléments nécessaires pour caractériser le système de deux coniques.

Revenons maintenant à la théorie du système de trois coniques.

388 (c). Trouver la condition pour que la droite Xx -{'\x,y -\-^z soit divisée en involution par trois coniques.

En se reportant au n" 335 et à la Note du n® 342, on voit que la condition cherchée s'obtient en égalant à zéro le déter-

(') Voir Clebsch, Leçons sur la Géométrie^ recueillies et complétées par DB Linoemann; t. I, p. 36i de rÉdition française publiée par A. Benoist, iS-^gi883 ; Paris, Gaulhier-Villars.

(*) On désigne, sous le nom générique de concomitants Tensemble de toutes les fonctions dont les relations avec la fonction, ou les fonctions primitives S, S', ne sont.pas altérées par une transformation de coordonnées.

INVARIANTS ET C0VARIANT8 DES SYSTÈMES DR CONIQUES. 6ui

minant

cX* — 2^vX

av' Cul' — syiuLV -H^v* cXa — /vX — ^vja a'v^ C"' {X* — 2/'{jL V H- ^'v' c' XjA — y 'vX — g'w }X

C^2 — 2 ^%X -+- a%« C'^JX* — 2/" |XV -h 6%* C'^JA — /'vX — ^vjjL

aé^'vA

ce qui donne

X' ( 6c/) -+- jx» ( ca^) H- V» ( a^^/i ) -f- XV [ ( c V) - ( ^c^) ] >^'v[2(V^)-(6cA)] + ^«X[2(c^/i)-(ca/)]

jx«v[2(a/^)-(ca/0] + v*X[2(^^^A)-(a6/)]

vV[2(aV)-(a6^)]-i-XîiLv[(a^.c)-4(/^/0] = o.

On peut aussi mettre cette condition sous la forme

ih'

'Xh'

et, sous cette nouvelle forme, on voit immédiatement que toute droite divisée en involution par les trois coniques U, V et W, est divisée en involution par trois coniques quelconques du système /U + mV -H nW. L'équation du lieu des points tels que les tangentes menées par l'un d'eux aux trois coniques forment un faisceau en involution, se déduit de l'équation qui précède en y remplaçant X, |jl, v par a:,^, ^ et tz, 6, c, . . . par les coefficients A, B, C, ... de l'équation tangentielle.

389. Lorsqu'on forme le discriminant de /U + mV + AtW, on obtient une fonction en /, m, /i, qui peut s'écrire

/'A -h /*/n0n,H- /*/i0na-+- //w/i0,,j

et dont les coefficients 6||2) • • • sont les invariants du système de coniques. Tous ces invariants appartiennent à la catégorie de ceux que nous avons étudiés précédemment, sauf un, qui

6m chapitre XVIII.

est dans ce développement le coefficient de //w/i, et qui se déduit du discriminant A d*une conique U en y remplaçant chaque terme abc^ . . . par six nouveaux termes tels que

ab'c' -H ab"c' -h alb^c H- a'bc" -\-a''bd + aJ'Uc,

Ce système de trois coniques admet encore un autre invariant T, qu'on obtient aisément à l'aide du principe suivant (*) : Étant donnés un covariant et un contrevariant de même degré, on peut, en substituant dans l'un des symboles différentiels et opérant ensuite sur Vautre, obtenir un invariant. On a ainsi, en partant du Jacobien et du contrevariant trouvé au numéro précédent,

T ={abcY + lK{abf){acf)+ t^{bcg){bag)-^ [^{cah){cbh) -^Ha/^){b/g)-^S{a/h){c/h)^S{cgh){bgh) -S{agh){bc/)^S{bh/){cag)^S{cJg){abh) ^{abc){/gh)-S{/ghy.

Cet invariant a été indiqué par M. Sylvester, qui Ta obtenu d'ailleurs par un procédé diflFérent de celui que nous venons d'employer.

389 (a). On peut simplifier l'étude de certaines propriétés des systèmes de trois coniques, en rapportant chacune de ces courbes à quatre droites x, y, z, w et en mettant leurs équations sous la forme

\5=:ax^ + by 4- cz^ -f. dw^, V — a'x^ -h b'y- -+- c'z» -+- d\v\

W = a'x* + by- 4- c'z^ -+- ^^^^

à laquelle il est toujours possible de les ramener d'une infinité de manières. Chacune de ces équations renferme, en effet, trois constantes indépendantes^ et chaque droite est définie

(') Voir la traduction fran^nifie de V Algèbre supérieure de Salmoji, p. io8

INVARIANTS ET COVARIANTS DE8 STSTÈIIE8 DE CONIQUES. 6^3

par deux constantes; la forme ci-dessus contient donc dixsept constantes, tandis que la forme employée habituellement pour U, V, W n'en renferme que trois fois cinq, ou quinze. D'ailleurs, les équations de. quatre droites vérifient toujours une relation de la forme wp = Xx + [xj^ H- v>5, que, pour plus de symétrie, on peut écrire de la manière suivante :

x-hy-hz-hw=zOy

en supposant les constantes X, |xet v contenues implicitement dans Xy y et z.

Comme application, nous résoudrons le problème suivant :

Former la condition pour que les trois coniques U, V, W passent par un même point.

Si l'on résout, par rapport à x^^ y^^ z^j pp^, les équations

et si l'on représente par A, B, C, D les quatre déterminants (bcd)j (dca)j (dab)^ (bac), on voit que x^^y^, z^^ w^ sont respectivement proportionnels à A, B, C et D, et, en substituant dans l'équation ^-j-^-j-^-f-fV = o, il vient, pour la condition cherchée,

v/Âh-v/Bh-v/Gh-v/D=:o,

ou, en faisant disparaître les radicaux,

(A«H- B* 4- C«-|- D»— 2 AB — 2 BC — 2CA — 2 AD — 2 BD — 2 CD)« = 64ABCD.

Le premier membre de cette équation est le carré de l'invariant T obtenu précédemment; le second membre ABCD est un invariant, que nous désignerons par la lettre M, et qui se réduit à zéro dès que l'on peut trouver des valeurs de /, m, n telles que /U + /7iV + /iW se réduise à un carré parfait. Ce dernier invanant peut d'ailleurs s'obtenir directement en

observant que, si Téqualion d^une conique est un carré parfait, sa réciproque est identiquement nulle. La réciproque de IS -\- mS' -\- nS* peut évidemment s'écrire (n® 377)

/-Si h- /n-S' -+■ /l'S" -+■ mn^^^ H- /i/*,, -h /m4»,j,

et, si Ton égale séparément à zéro chacun de ses coeflicienls, en vue d'éliminer les six quantités /*, /n*-^, ... considérées comme des inconnues indépendantes, il vient

où A|2, ... représentent les coefficients du développement de $12» • • • (il* 377). Ce déterminant est du quatrième degré par rapport aux coefBcients a, 6, . . . de chaque conique : les coefficients de la première conique figurent, en effet, au second degré dans la première ligne, au premier degré dans la cinquième et dans la sixième; ceux de la deuxième conique Il en résulte qu'on peut rendre S 4- 'U -{- ''i V + /iW

un carré parfait de quatre manières (n** 373, Ex. 3), puisqu'on égalant à zéro l'invariant M relatif à S -h /U, V, W, on obtient une équation du quatrième degré pour déterminer /.

389 (6). Lorsqu'on forme le discriminant du système réciproque ZS -h /n^' de deux coniques, on n'obtient pas de nouvel invariant puisque ce discriminant a pour expression

mais, quand on forme le discriminant du système réciproque /S -H /n S' -h n S'' de trois coniques, on trouve un invariant

qui est le coefficient de Imn dans le développement du discriminant et correspond ainsi au coefficient 0|28 du n® 389. Cet invariant est du deuxième degré par rapport aux coefficients de chaque conique; on ne peut pas l'exprimer en fonction des invariants A, @i23, . . . , mais on peut, ainsi que Fa montré M. Burnside, le rattacher à ces invariants par Pintermédiaire de Tin variant T du n*' 389.

Supposons que les équations de deux des coniques aient été ramenées à la forme canonique, et soient

a:- -H j' -h z* = o, Ir- -h my- -h nz- = o, ax' -\- by^ H- cz- -+- 2/yz -+- igzx H- 2 hxy = o,

les équations des trois coniques. Le résultant de ces équations exprime la condition nécessaire pour que les trois coniques passent par un même point ; pour le former, on peut résoudre les deux premières, ce qui donne

j7'=:/n — 71 = a, y^-r^z n — /=P, z^ ^=z l — m=zy,

et substituer les valeurs ainsi trouvées dans la troisième : on a ainsi, après avoir fait disparaître les radicaux,

[a*a* + 6'p*-+-cY — 2 6cpY — 2caYa — labtx^ — 4(Aj3Y-HBYa 4- Caj^)]-

=z 64aPY(F^Aa 4- G A/P + H/^ï)-

Le premier membre de cette équation est égal au carré de l'invariant que nous avons désigné par la lettre T (n** 389 j, et si l'on y remplacea, P, y par leurs valeurs m — n, n — /, / — m, il vient :

— !\{a-\-b-hc){amn-\-bnl-{'Clrn) ^4(A/* + B/n*-i-Cw*)

— 4(A 4- B -hC)(m« -h nl-^ Im)

ou, en remarquant que tous les termes de celte expression

On peut considérer le discriminant de /S-f- /?iS'4- /îS' comme une forme cubique ternaire en /, m, n, et former ses invariants S et T en s*aidant de la théorie des courbes du troisième degré. Diaprés les calculs de M. Burnside, la forme S a pour expression T^ — 48M, et la forme T, 8T(72M — T*), ce qui permet d'exprimer T^ — 48M et T(72M — T*) en fonction des dix invariants fondamentaux que l'on rencontre dans le discriminant de /S H- /n S' -|- /iS". En résumé, et bien qu'il ne soit pas possible d'établir des relations linéaires entre M, T, 0 et ces dix invariants, on peut toujours former deux équations reliant implicitement M etT à ces invariants; il est d'ailleurs évident qu'il suffit d'éliminer M ou T entre CCS deux équations pour exprimer T ou M en fonction des dix invariants fondamentaux.

389 (c). En général, trois coniques quelconques peuvent être considérées comme les polaires (*) de trois points relativement à une même courbe du troisième degré, ou cubique; autrement dit, leurs équations peuvent se ramènera la forme

Si l'on emploie pour les équations des coniques la forme indiquée au numéro précédent, l'équation de la cubique dont elles se déduisent pourra s'écrire

^1 yS -s j^S

(') La pojaire d*un point quelconque (a?', y't z'), par rapport à une courbe V n'est autre chose que le lieu a?'V, -h^'Vj -+-^'¥3 qui passe par les points de contacl des tangentes menées à V par {x', y', z'). Quand Y est une courbe de degré /i, la polaire est de degré (n-^i).

et Ton voit que si l'invariant M s'annule, ce qui ne peut arriver que lorsqu'une des expressions A, B, C, D est nulle, il y a exception, et que les coniques ne peuvent être considérées comme déduites de la même cubique. Dans le cas général, on peut obtenir l'équation de la cubique en fçrmant le Hessien (') du Jacobien des trois coniques, et en retranchant du résultat le produit du Jacobien par le double de l'invariant T.

En opérant sur le contrevariant du troisième degré successivement avec chacune des coniques, ou sur le Jacobien avec leurs réciproques, on obtient les contre variants et les covariants linéaires qui représentent géométriquement, soit les points dontles coniques données sont les coniques polaires, soit les polaires de ces mêmes points par rapport à la cubique.

(') Voir la traduction française de l'Algèbre supérieure de M. Salhon,

390. Les problèmes qui se ratlachent au tracé des tangentes, ainsi qu^à la quadrature et à la rectification des courbes peuvent se résoudre par deux méthodes différentes : par l'analyse ou par la Géométrie. Nous renverrons le lecteur aux ouvrages spéciaux pour l'emploi de l'analyse et nous consacrerons ce Chapitre à l'exposé de la méthode géométrique, afin de donner une idée des procédés employés par les géomètres avant la découverte de l'analyse. Ces procédés, en dehors de l'intérêt historique qui s'y rattache, peuvent du reste, dans certains cas, conduire au résultat plus sim- ])lement et plus rapidement que l'analyse : c'est ainsi, par exemple, qu'ils ont conduit au beau théorème du n** 400, théorème qui n'avait pas même été entrevu par ceux qui ont appliqué le calcul intégral à la rectification des sections coniques.

Lorsqu'un polygone est inscrit dans une courbe quelconque et qu'on fait croître le nombre de ses côtés, l'aire ainsi que le périmètre du polygone vont évidemment en se rapprochant de l'aire et du périmètre de la courbe, tandis que chacun de ses côtés tend vers la tangente menée à la courbe par l'un des points où il la rencontre. A la limite, quand le nombre des côtés devient infini, le polygone se confond avec la courbe, et la tangente en un point quelconque de

MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS. 6'i9

la courbe coïncide avec la droite qui joint ce point à un deuxième point infiniment voisin. De même, lorsqu'un polygone est circonscrit à une courbe, et qu'on fait croître le nombre de ses côtés, l'aire ainsi que le périmètre du polygone se rapprochent de l'aire et du périmètre de la courbe, tandis que le point d'intersection de deux de ses côtés consécutifs tend à se confondre avec le point de contact de l'un de ces côtés.

Il résulte de là que, pour déterminer l'aire ou le périmètre d'une courbe quelconque, on peut substituer à cette courbe un polygone inscrit ou circonscrit d'un nombre infini de côtés; il en résulte également qu'on peut considérer toute tangente à une courbe comme une droite passant par deux points infiniment voisins de la courbe, et tout point d'une courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines.

391. I. Déterminer la direction de la tangente en un point quelconque A du cercle.

Dans le triangle isoscèle AOB {fig- m), formé en joi-

gnant les extrémités de deux rayons quelconques OA et OB, l'angle à la base BAO a pour complément la moitié de l'angle au sommet BOA; et comme ce dernier angle diminue à

mesure que les points A et B se rapprochent, il s'ensuit que la différence entre BAO et un angle droit peut devenir plus petite que toute grandeur donnée. L'angle BAO que la tangente fait avec le rayon est donc égal à un angle droit.

Le principe que nous venons de démontrer est d'un emploi fréquent; on l'énonce ordinairement comme il suit : Deux droites infiniment voisines, de même longueur, et issues du même point, sont perpendiculaires à la droite qui joint leurs extrémités,

IL Le rapport de deux circonférences quelconques est égal au rapport de leurs rayons.

Inscrivons dans la première circonférence un polygone régulier quelconque ABGD . . . {fig» 1 1 1), et dans la seconde, un polygone régulier abcd . . . d'un même nombre de côtés. Les périmètres de ces deux polygones sont entre eux dans le même rapport que les côtés AB, a6, et par suite dans le même rapport que les rayons OA, Oa; et, comme cette propriété subsiste quelque grand que soit le nombre des côtés, il en résulte que les circonférences sont entre elles dans le même rapport que leurs rayons.

III. Uaire dUin cercle quelconque a pour mesure le produit de la circonférence par la moitié du rayon.

L'aire d'un triangle quelconque OAB {fig^ 1 1 1 ) ayant pour mesure le produit de sa base AB par la moitié de la distance de cette base au centre O, l'aire de tout polygone régulier inscrit est égale au produit de la somme de ses côtés par la moitié de la distance de l'un quelconque de ces côtés au centre; mais, à mesure que le nombre des côtés du polygone augmente, son périmètre tend à devenir égal à la circonférence, et la distance de ses côtés au centre tend à devenir égale au rayon, puisque la différence entre ce périmètre et la

circonférence peut devenir plus petite que toute quantité donnée, et qu'il en est de même de la différence entre la distance des côtés au centre et le rayon ; le cercle a donc pour mesure le produit de la circonférence par la moitié du rayon.

392. I. Déterminer la direction de la tangente en un point quelconque de Vellipse, Prenons sur l'ellipse de^ix

points P, P' infiniment voisins {fig* 112) et joignons ces points aux foyers F et F'; on a, par définition^