T'P = PFF

La tangente est donc la bissectrice de l'angle FPN.

393. I. Trouver Vaire du segment parabolique FVP compris entre la courbe, son axe VF, et un rayon vecteur quelconque FP.

Le triangle FPR(yî^.i i4)estIamoitié du rectangle PSNN', puisque PS = PR (n«392, III), et que PN = FP. La somme

Fig. ii4.

des triangles PFR, . . . que Ton obtient en prenant sur Tare PV une série de points P', F', . . . est donc égale à la moitié de la somme des rectangles PN' correspondants, et, comme la somme de ces triangles et la somme de ces rectangles tendent respectivement vers les aires FPV et NPDV à mesure que les points P, P', P", ... se rapprochent, il en résulte que le segment parabolique FVP est la moitié de Taire NPDV, et par suite le tiers du quadrilatère NPFD.

II. Trouver Vaire du segment déterminé dans une parabole par une corde quelconque.

Soit VM {Jig» 1 1 5 ) le diamètre correspondant à celte corde PM; soit, en outre, T le point où la tangente en P rencontre ce diamètre. Par les points T, V, M, M', menons des parallèles à la corde, et par les points P, P', des parallèles au diamètre. Les parallélogrammes PR', PM' sont équivalents puisque TP' divise en deux parties égales les parallélogrammes MR, M'R'; d'ailleurs, V étant le milieu de TM (n' 210), le parallélogramme PN' est la moitié du parallélogramme PR'.

Fig. II 5.

Il résulte de là que la somme des parallélogrammes PM' que Ton peut former en prenant sur l'arc PV une série de points P', P", P"', ... est égale au double de la somme des parallélogrammes PN' correspondants, et par suite, que l'aire V'PM est double de l'aire VPN. L'aire du segment parabolique PMV est donc les deux tiers de l'aire du parallélogramme PMV'N.

394. L L'aire de V ellipse est égale à l'aire du cercle qui a pour rayon une moyenne proportionnelle entre les demi-axes de V ellipse.

Sur le grand axe AA' de l'ellipse comme diamètre {Jig- ï iS)» décrivons un cercle ADA', et menons une série de parallèles rffem, dJVm'^ ... au petit axe BC.

Les aires des quadrilatères mbb'm\ mdd'm' sont entre

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elles dans le rapport de b èi a^ puisqu'on a (n* 165)

mb : md : : m'b' : m'd! \\b\a\

et comme on peut répéter, le même raisonnement sur tous les quadrilatères analogues qui se correspondent dans rellipsp et dans le cercle, le polygone A'Bfcè'A inscrit dans Fellipse est au polygone A'Drfrf'A. inscrit dans le cercle, dans le même rapport de 6 à a. Celte propriété subsistant quel que

Fig. ii6.

soit le nombre des côtés de ces polygones, l'aire de l'ellipse est à celle du cercle dans le rapport de 6 à a: et comme l'aire du cercle est égale à ct«^, celle de l'ellipse a pour valeur xsab.

Corollaire. — On démontrerait de la même manière que, si deux figures sont telles que les ordonnées de l'une soient dans un rapport constant avec les ordonnées de l'autre, les aires de ces figures sont entre elles dans le même rapport.

II. Tout diamètre d'une conique divise Vaire de la conique en deux parties équivalentes.

Tout diamètre, divisant ses ordonnées en deux parties égales, divise, par cela même, en deux parties équivalentes l'aire du trapèze formé en joignant les extrémités de deux

ordonnées quelconques; il divise donc Taire de la courbe en deux parties équivalentes, puisque la différence entre celte aire et la somme des trapèzes que déterminent une suite d'ordonnées peut devenir plus petite que toute quantité <jonnée.

393. I. Dans l'hyperbole, l'aire du secteur PCQ, déterminé par les droites qui joignent deux points quelconques V et Çl de la courbe au centre G, est équivalente à l'aire du segment PQKL obtenu en menant par ces points des parallèles PK, QL à une asymptote.

Ce théorème résulte de ce que, d'après la génération même de la courbe, les triangles PKC, QLG {Jig* 1 17) sont équivalents.

Fig. 117.

II. Deux segments quelconques PQLK, RSNM sont équivalents lorsqu'on a la proportion PK : QL : : RM : SN.

Cette proportion exprime que les deux droites QR et PS sont parallèles; on a, en effet (n® 199),

PK:QL::CL:CK,

et, en observant (n<» 197) que CL = MP, et que CK = NT,