RM : SN : : MT' : NT

Il est dès lors facile de voir que les secteurs PCQ, RCS sont

équivalents, puisque le diamètre des cordes PS et QR divise en deux parties équivalentes Taire hyperbolique PQRS, ainsi que les triangles PCS et QCR.

Lorsque les points Q et R coïncident, l'aire PKNS est divisée en deux parties équivalentes par Tordonnée QL qui est alors moyenne géométrique entre les ordonnées PK, SN des extrémités de l'arc PQS.

Il résulte en outre de ce qui précède que, dans toute suite d'ordonnées formant une progression géométrique, l'aire comprise entre deux ordonnées consécutives est constante.

396. Lorsque deux coniques sont semblables, semblablement placées et concentriques, toute tangente à la conique intérieure détermine dans la conique extérieure un segment dont Vaire est constante.

Soient AB, A'B' (^fig* ii8) deux tangentes quelconques,

Fig. ii8.

P, P' leurs points de contact. Ces deux tangentes se coupant en Q, l'angle AQA' est égal à l'angle BQB', et les côtés AQ, A'Q diffèrent d'autant moins des côtés BQ, B'Q que le point Q est plus voisin du point P, puisque (n® 236, Ex. 4) toute tangente AB à la courbe intérieure est divisée en deux parties égales par son point de contact P. Il en résulte que, dans le cas particulier où les tangentes sont infiniment voisines, ce triangle AQA' est égal au triangle BQB', et le segment AVB au segment A'VB'. L'aire du segment AVB, ne variant pas

lorsqu'on passe d'une tangente quelconque à la tangente consécutive, est donc constante.

Corollaire, — On prouverait de la même manière que, lorsque la tangente à une courbe détermine sur une autre courbe un segment dont Taire est constante, elle est divisée en deux parties égales au point de contact, etréciproquemenl que, si elle est divisée en deux parties égales au point de contact, elle détermine un segment d'aire constante.

On peut, en s'appuyant sur ce qui précède, mener par un point donné une corde qui détermine dans une conique fixe un segment d'aire minimum* Pour déterminer un segment d'aire donnée^ il suffit en effet de mener par le point donné une tangente à une conique qui soit homothétique et concentrique à la conique fixe, et dont la distance à cette dernière conique soit d'autant plus grande que l'aire donnée est ellemême plus grande. Pour que l'aire soit minimum, il faut donc que la conique auxiliaire passe parle point donné, et, comme ce point coïncide alors avec le milieu de la tangente, il s'ensuit que la corde menée par un point quelconque détermine dans une conique un segment d'aire minimum lorsqu'elle est divisée en ce point en deux parties égales.

On démontrerait de même que la corde menée par un point donné de manière à déterminer dans une courbe quelconque un segment d'aire maximum ou minimum est divisée en ce point en deux parties égales. On démontrerait de même encore les deux théorèmes suivants, dus à feu le professeur Mac-Cullagh.

I. Lorsqu'une tangente AB à une courbe détermine sur une deuxième courbe un arc constant, elle est divisée au point de contact P de telle sorte que le rapport KV : PB<?5/ l'ins^erse du rapport AO : OB des tangentes menées en A et B à la deuxième courbe.

II. Si la tangente AB est de longueur constante, et si la perpendiculaire f abaissée sur AB*de l^ intersection des tangentes en A et B, rencontre AB en M, on a AP = MB.

397. Trouver le rayon de courbure en un point quelconque de l'ellipse.

Le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque coïncidant avec le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle, le centre de courbure, ou, ce qui revient au même, le centre du cercle passant par trois points consécutifs de la courbe, se trouve à Tintersection de deux normales consécutives.

Lorsque deux triangles quelconques FPF', FPT' (Jig^ 112) ont une base commune et qu'on mène les bissectrices PN, P'M des angles opposés à cette base, on a la relation

2PNP'=rPFPH-PFF.

Dans le cas particulier où ces bissectrices sont deux normales consécutives, on peut, en considérant PP comme un arc de

PP' cercle ayant son centre en N, prendre le rapport jj^ pour

mesure de Tangle PNP', puisque la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la fois à l'angle au centre correspondant et au rayon (n® 391). On peut de même, en portant sur FP', F'P des • longueurs FR, F'R' respectivement égales à

PR P'R' FP, F'P', prendre les rapports r^p > pôïT pour mesure des

angles PFP', PFF.

La relation précédente devient alors