TS = T'R

(') Ce beau théorème a été découyert par le D' Graves, qui Ta énoncé dans sa traduction des Mémoires de Chasles sur les c6nes et les coniques sphériques.

et, par suite,

PT 4- TQ' = PT' -f- PQ', ce qui donne

(PT 4- TQ) - (Pr -h TQ) = PF — QQ' = PQ — P'Q'.

Corollaire. — Ce théorème est encore vrai pour deux courbes quelconques, lorsque ces courbes sont telles que les tangentes TP, TQ menées à la courbe intérieure par un point quelconque T de la courbe extérieure sont également inclinées sur la tangente TT' menée en T à la courbe extérieure.

400. Quand on mène deux tangentes TP,TQ à une ellipse par un point T d'une hyperbole con/ocale, la différence des arcs PK et QK est égale à la différence TP — TQ des longueurs des tangentes (*).

En prenant un point T' (Jig. 122) infiniment voisin du point T et répétant la construction du numéro précédent, on arrive aux relations

(T'F — P K) — (TP — PK) = T'R, (T'Q' — Q'K) — (TQ — QK) = T'S.

Mais T'R = T'S, puisque (n*» 189) TT' est la bissectrice de Tangle RT'S. Donc la différence entre l'excès de TP sur PK et Texcès de TQ sur QK est constante, et comme, dans le cas particulier où T coïncide avec K, ces deux excès, et par suite leur différence, s'évanouissent, il s'ensuit qu'on a, dans tous les cas,

TP-PK = TQ-QK.

(<) Cette extension du théorème précédent a été donnée par Hac-Callagh {Dublin, Exam, Papers, i84i, p. ^i\ 1842, p. 68 et p. 83). Chasles 7 est arrivé de son c6té {Comptes rendus des séances de l'Aazdémie des Sciences, octobre 1843, t. XVII, p. 838).

Corollaire. — On peut diviser un quadrant elliptique en deux arcs tels que la différence entre ces arcs soit égale à la différence des demi-axes. Il suffit, en effet, de couper le quadrant par une hyperbole confocale à l'ellipse donnée,

Fig. 123.

et passant par l'inlersection des tangentes menées à l'ellipse parallèlement aux axes. Les coordonnées des points d'intersection ont, du reste, pour coordonnées

Ce corollaire est connu sous le nom de Théorème de Fagnano.

401. Si tous les sommets, moins un, d^un polygone circonscrit à une conique glissent sur des coniques confocales^ le sommet libre décrit une conique confocale.

Lorsque le sommet T d'un angle PTQ {Jig> 121) circonscrit à une conique se meut sur une conique confocale, et qu'on représente par a et p les angles TPT', TQ'T' compris entre les deux positions consécutives de chacun des côtés, on a, en désignant par a et 6 les diamètres parallèles à TP et TQ, aa = èp. Cette relation résulte, en effet, des égalités (n° 399)

TR = T'S, TR = TP.a, T'S^T'Q'.p,

et de ce que (n* 149) TP et TQ sont proportionnels aux diamètres qui leur sont parallèles.

Réciproquement, quand on a aa = 60, le point T se meut sur une conique confocale. En reprenant en sens inverse les équations qui précèdent, on arrive, en effet, à régalilé TR = T'S qui montre que TT' fait des angles égaux avec TP, TQ, et, par suite, coïncide avec la tangente menée à la conique confocale qui passe par le point T. Le point T se trouve donc sur cette conique.

Cela posé, si l'on désigne par é7, 6, c, . . ., n les diamètres de la conique inscrite, parallèles aux côtés du polygone, et par a, p. Y? • • • 7 ^ '^s angles compris entre les deux positions consécutives de chacun des côtés, les relations

expriment que tous les sommets, moins un, glissent sur des coniques confocales, et Féquation qui en résulte

montre que le dernier sommet glisse aussi sur une conique confocale (*).

(') Cette démonstration a été donnée par le D*" Hart {Cambridge and Dublin Math, Journ., t. IV^ p. igS).