SUR LE THÉORÈME DE PASCAL
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Ce fut Steiner qui appela (i) l'attention des géomètres sur les propriétés de la figure obtenue en joignant de toutes les manières possibles six points d'une conique; Plucker (*) rectifia et développa les propositions de Steiner, mais la théorie complète de la figure ne fut reprise que plusieurs années après par M. Cayley ('), et surtout par M. Kirkman (^) qui l'enrichit de nombreux théorèmes. Depuis^ elle a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres parmi lesquels il convient de citer MM. Salmon, Cayley, Hesse, Grossmann, V. Staiidt, Baur, Veronese et Cremona.
Dans la présente Note, nous essaierons de résumer les résultats obtenus, en commençant par les théorèmes de M. Kirkman. La plupart de ces théorèmes se déduisent des principes les plus élémentaires de la théorie des combinaisons, et des propositions suivantes ainsi que de leurs réciproques :
Quand deux triangles ont leurs sommets situés deux à deux sur trois droites concourantes en un même point, ou centre d'homologie, leurs côtés se rencontrent deux à deux, en trois points situés sur une ligne droite, qui est Vaxe d*homologie (n* 60, Ex. 3).
Lorsque, dans un système de trois triangles, les côtés de deu\ triangles quelconques se rencontrent deux à deux en trois points
(•) Annales de Gergonne, t. XVIII, 1827-28, p. SSg.
(') Journal de Crelle, t. V, i83o, p. 274.
(•) Journal de Crelle, t. XXXI, 1846, p. 216, et t. XXXÏV, 18^7, p. 27J.
(*) Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. V, i85o, p. j85.
situés en ligne droite, les centres d'homologie du premier et da second triangle, du second et du troisième, du troisième et du premier appartiennent à une même ligne droite.
Soient six points a, b, c, d, e, / d'une conique, que nous appellerons les points P. On peut joindre ces six points deux à deux par quinze droites ab, ac, ad, ..., que nous nommerons les droites C; chacune de ces droites, ab par exemple, rencontre les quatorze autres; quatre au point a, quatre au point b, par conséquent six en des points (ab, cd), ... distincts des points P et que nous appellerons les points />. Il y a quarante-cinq points p, puisque chaque ligne G en contient six, et qu'il passe deux lignes G par chacun d'eux.
Si l'on prend les côtés de l'hexagone formé par les six points, dans l'ordre abcdef, le théorème de Pascal exprime que les trois points p: (ab, de), {cd, /a), {bc, e/) sont situés sur une même droite, à laquelle nous donnerons le nom de droite de Pascal, ou plus simplement de Pascal abcde/, et que nous désignerons en général par la notation
ab,cd,e de,J'a,bc
pour indiquer les points par lesquels elle passe»
Par chaque point 77, on peut mener quatre Pascals. Ainsi le point (ab, de) appartient aux quatre Pascals abcde/, abfdec, abcedf, abfedc. On trouvera, par conséquent, le nombre des Pascals, en multipliant par 4 le nombre des points p, et en divisant le produit par 3, puisqu'il y a trois points p sur chaque Pascal. Il y a donc soixante Pascals. On aurait pu obtenir ce résultat plus directement, en calculant le nombre des permutations circulaires possibles des six lettres a, b, c, d, e, f.
Gonsidérons maintenant les triangles (i), (a), (3) qui ont pour côtés
(i) ab.cd.ef,
(2) de.fa.bc,
(3) cf.be. ad.
Les intersections des côtés correspondants de (i) et (2) sont situées sur le même Pascal; les droites qui joignent les sommets homologues concourent donc en un même point. Ges droites ne sont autres que
les trois Pascals
ab.de.cf ) l cd.fa,be ) l ef,bc.ad cdja.he \ \ ef.bc.ad ) \ ab.dccf
et nous avons ainsi le théorème de Steiner énoncé au n<^ 268. Le point de concours de ces trois Pascals, que nous appellerons le point gy ou point de Steiner^ se trouve d'ailleurs défini par la notation
ab.de.cf
cd.fa.be
ef.bc.ad
qui montre que, sur chaque Pascal, il n'y a qu'un seul point gy puisqu'étant donné le Pascal
( ab.de.cf ) \ cd.fa.be \
on obtient un point g, en ajoutant à chacune des colonnes verticales, un troisième terme formé avec les deux lettres qui n'entrent point dans les deux premiers. Et, comme il passe trois Pascals par chaque point ^, il y a en tout vingt points g.
Les droites qui joignent les sommets correspondants des triangles (2) e( (3) se confondent avec celles qui joignent les sommets correspondants des triangles (i)et(a), et concourent en un même point; on en conclut, en se reportant au théorème réciproque de la deuxième proposition rappelée plus haut, que les axes d*homologie de ces trois triangles considérés deux à deux se coupent en un même point
ab.cd.ef de .fa . bc cf. be . ad
qui est un point g. Steiner a d'ailleurs fait voir que ce point g, et celui dont nous avons donné l'expression plus haut, sont conjugués harmoniques par rapport à la conique, de telle sorte que les vingt points g se groupent en dix couples de points (*). Quant aux Pascals qui passent par ces deux points g, ils correspondent respectivement aux hexagones abcfed, afcdebj adcbef\ abcdef^ afcbed, adcfeb^
(') Pour la démonstration de ce théorème, voir Staudt, Journal de Crelle, t. LXII, 186 ^, p. 142.
65o NOTES.
dans lesquels les sommets de rang impair consenent la même position relative.
Passons maintenant à l'examen des trois triangles
( I ) ab cd ef
\ ab.ce.df ) ( cd.bf,ae ) ( e/.bd.ac \ de. bf. ac y { af, ce,bd \ \ bc.ae.df
- K ab.ce.df ) l cd,bf,ae ) { ef.bd.ac
^ I cf.bd.ae \^ \ be.acdf \ \ ad.ce.bf
Les côtés de (i) et (4) se coupent, deux à deux, en trois points qui appartiennent au même Pascal; il en résulte que les droites qui joignent les sommets correspondants, et qui sont les trois Pascals
ab,ce,df ] \ cd.bf.ae \ ( ef.acbd ] cd.b/.ae \ \ ef,ac,bd y \ ad,df,ce Y
concourent en un même point
ab.ce.df cd.bf.ae ef.acbd
que nous appellerons un point h.
La notation d'un point h diffère de celle d'un point g en ce qu'elle ne renferme qu'une seule colonne verticale comprenant les six lettres sans omission ni répétition. Sur chaque Pascal
ab.cd.ef de.af.bc
se trouvent les trois points h
/ ab.cd.ef \ l ab.cd.ef \ / ab.cd.ef \
j de . af. bc\i \ de. af. bc \^ \ de. af. bc \ » ( cf.bd.ae ] \ ac.be. df ) \ bf.ce.ad )
dans la notation desquels on a fait ressortir par le signe — les colonnes renfermant les six lettres.
On a ainsi le théorème de Steiner, étendu par M. Kirkman : Les Pascals se coupent trois à trois, non seulement aux ving-t points g de Steiner, mais encore en soixante autres points h. On peut d'ailleurs remarquer que la démonstration du n® 268 s applique
NOTES. 65l
aussi bien au théorème de M. Kirkman qu'au théorème de Steiner. Les droites qui joignent les sommets correspondants des triangles (i) et (5) se confondent avec celles qui joignent les sommets correspondants des triangles (i) et (4); les côtés homologues de (i) et (5) se rencontrent donc sur une même droite, et cette droite est évidemment un Pascal. Les côtés de (4) et (5) se coupent de même aux trois points h
! ab.ce.df \ l ae,cd.bf \ / ac.bd.ef \
! de.bf.ac [i j bd,af.ce >> ! df.ae.bc !» ( cf.ae.bd \ \ ac,be,df] \ ccbf.ad )
qui sont en ligne droite. De plus les axes d^homologie de (4) et (5),
de (i) et (4)i de (i) et (5) concourent en un même point, qui est le
point g
ab.cd.ef \
de . af. bc ! »
c/.be.ad }
et dont l'expression s'obtient en combinant les colonnes verticales complètes des trois points h.
On a ainsi le théorème i II y a vingt lignes G, qui contiennent chacune un point g et trois points A (*).
On peut démontrer de la même manière que les vingt lignes G passent, quatre à quatre, par quinze points i. Les quatre droites G, correspondant aux quatre points gj qui dans le système de notation adopté ont une colonne verticale commune, passent, en effet, par le même point.
En partant des trois Pascals
ab.ce.df ) J de.b/.ac ) ( c/.ae.bd } de .b/.ac )^ ( cf. ae.bd y \ ab. df. ce \ '
qui passent par un même point A, et en prenant sur chacun d'eux un point p, on peut former un triangle (6) qui a pour sommets les points {d/.ac)j {af.ae)y (bd.ce), et par suite pour côtés, les droites
l ac,b/,de I [ bf.ce.ad } [ bd.ac.e/ l ^ ^ \ d/.ae.cb \' ( ae,bd.c/ j' ( ce.d/.ab )
(') L'existence des lignes G a été signalée à la fois par M. Cayleyetpar M. Salmon. La démonstration donnée dans le texte est celle de M. Cayley.
65tl NOTES.
On peut, de même, en prenant sur chacun de ces Pascals un deuxième point h, ce qui revient à ajouter à l'expression de chaque Pascal la ligne a/*, cd, be, former un triangle (7) qui a pour côtés
l ac.hf.de j ( cf.ae.bd ) ( df,ab.ce ^'^ ( be.cd.af \ \ be.cd.af \^ \ be.cd.af
Les côtés homologues de ces triangles se coupent, deux à deux, en trois points qui s'alignent nécessairement sur une même droite, et qui sont les trois points g
be.cd.af \ i be.cd.af \ t be.cd.af ac.bf.de |» ! c/.a«.W |» ! df.ab.ce df.ae.bc ) \ ad.bf.ce ) ( ac.ef.bd
à CCS points, il convient, comme Ta indiqué M. Salmon, d'en ajouter un quatrième, le point g
be.cd.af \ cf.ab.de Jt ad.ef.bc )
qui, en raison de la symétrie des notations, appartient évidemment à la droite déterminée par les trois autres. Ces quatre points g sont du reste les seuls dans l'expression desquels on puisse faire figurer la ligne be.cd.af. Et comme on peut former quinze produits de la forme be.cd.af, il en résulte que : Les vingt points g sont situés quatre à quatre sur quinze droites I.
Les théorèmes que nous venons de démontrer sont assujettis, ainsi que Ta fait remarquer Hesse {^),èi une certaine loi de réciprocité. Ainsi il y a soixante points h de Kirkman auxquels correspondent soixante droites H de Pascal. Par chacun des vingt points g de Steiner passent trois Pascals H et une ligne G; à chacune des vingt droites G appartiennent trois points h de Kirkman et un point g de Steiner. Les vingt lignes G passent, quatre à quatre, par quinze points i, et les vingt points g sont situés, quatre à quatre, sur quinze droites L
(») Journal de CreUe, t. LXVIII, 1868, p. 293.
Les considérations suivantes permettent, à la fois, de démontrer quelques uns des théorèmes précédents, et de reconnaître le point k qui correspond au Pascal obtenu en prenant les sommets dans un ordre déterminé abcdef. Les côtés des deux triangles inscrits ace, bd/ sont tangents à une même conique (n» 335, Ex. 4), et le théo* rème de Brianchon s'applique à Fkexagone qui a pour côtés ce, d/, ae, b/, aCf bd. Si Ton prend les côtés dans ce dernier ordre, les diagonales de l'hexagone sont les trois Pascals concourant au point h
ce . bf. ad
df. ac . be ae.bd.cf
et, puisqu'on peut effectuer une permutation circulaire sur les côtés d/, b/f bd, sans modifier l'ordre des autres côtés, il résulte du théorème réciproque de Steiner, que les trois points de Brianchon qui correspondent aux hexagones déterminés par cette permutation appartiennent à une même droite : par suite, qu'il y a trois points h sur une ligne G. En partant du même hexagone circonscrit ce, df, ae, ..., on voit, en outre, que les droites qui joignent respectivement les points a et (bc.df), d et (ace/) se coupent sur le Pascal abcdef, et que chaque Pascal contient six intersections analogues.
On peut encore, comme l'a indiqué M. Gayley (*), démontrer les principales propriétés de la figure de Steiner, en la considérant comme la projection des intersections de six plans.
Dans les recherches dont il a publié récemment les résultats, M. Veronese (*) a pris pour point de départ les principes suivants :
L Étant données trois droites se coupant en un même point, et trois points sur chaque droite, ces derniers points forment 27 triangles qui peuvent se diviser en 36 séries de trois triangles homologiques deux à deux, et dont les axes d'homologie passent trois à trois par 36 points situés quatre à quatre sur 27 droites.
II. Lorsque quatre triangles a\bxCi, a^ib^c^t ••• sont homologiques, ou en perspective, le premier avec le second, le second avec
(*) Quarterly Journal, t. IX, p. 348.
(*) Nuovi Teoremi sulVHexagrammum mysticum dans les Memorie délia Beale Academia dei Lincei, 1877.
le troisième, le troisième avec le quatrième, le quatrième avec le premier, et que les quatre centres d'homologie sont situés en ligne droite, les quatre axes d^homologie concourent en un même point.
III. Si quatre quadrangles aibiCtdif aibfCidtf ... sont homologiques deux à deux comme ci-dessus, et de telle sorte que les sommets désignés par la même lettre soient les sommets homologues, les quatre centres d homologie correspondant aux triangles bcd, cda, dabf abc sont en ligne droite. Dans le cas particulier où les quatre quadrangles ont même centre d'homologie, on a le théorème suivant: Lorsqu'on dispose trois quadrangles en perspective ai^fCi^j, aibiCfdiy a^biCidif sur quatre droites se coupant en un même point, on obtient quatre séries de trois triangles homologiques ai^iCi, ... et les quatre axes d'homologie correspondant à chacune de ces séries passent par un même point, tandis que les quatre centres d'homologie s'alignent sur une même droite.
IV. Lorsque deux triangles aibiCt, a^biCf sont homologiques, et que l'on prend les intersections de bic^jb^ci; Citi^jCfat; afbi, aibf; on forme un nouveau triangle qui est en perspective avec chacun des deux autres, et les trois centres d'homologie de ces triangles considérés deux à deux sont situés sur une même droite.
Il serait trop long d'énoncer ici tous les théorèmes que M. Veronese a déduits de ces principes : nous nous contenterons de dire que l'un des résultats les plus importants de ses recherches a été de montrer que les 60 Pascals peuvent se diviser en 6 groupes, et que les 10 points Kirkman, correspondant à chacun de ces groupes, s'alignent trois à trois sur les Pascals du groupe qui passent eux-mêmes, trois à trois, par les points Kirkman. Ajoutons cependant que le point Kirkman qui correspond au Pascal déterminé par 6 lignes G n'est autre que le point de concours des Pascals se rapportant aux trois hexagones que l'on peut construire avec les 9 autres lignes G
Enfin, tout dernièrement, M. Gremona (*)a donné, des théorèmes de M. Veronese, une démonstration fort élégante, en se plaçant à un point de vue tout à fait différent, et en rattachant la théorie de la figure de Steiner à la théorie des surfaces du troisième degré. On sait, en effet (*), que, lorsqu'une pareille surface a un point nodal,
(') Teoremi stereometrici, dans les Atti délia Reale Academîa dei Lincei, Roma, '877.
(•) G. Salmon, Geometry 0/ three dimeMions, n» 536.
