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on peut y tracer : i^ six droites qui passent par le point nodal, et qui sont en même temps sur un c6ne du deuxième degré ; 20 quinze autres droites qui sont disposées, une à une, dans chacun des plans déterminés par deux des droites précédentes. En projetant cette figure, on obtient toutes les propriétés de l'hexagone complet.
Nous indiquerons, pour terminer, un certain nombre de formules qui trouvent leur application dans la discussion analytique des propriétés de Thexagone inscrit dans la conique LM — R>. Désignons par a, b, c, d, e, / les valeurs du paramètre ja (n® 270) correspondant aux six sommets de Thexagone, et par (ab)y la fonction aôL — (a-H ô)R + M qui, égalée à zéro, représente la corde joignant les deux sommets a et b. La quantité {ab)(cd)^(ad){bc) est alors égale au produit de LM — R* par le facteur (a — c)(b — rf), et si l'on compare, comme au n® 267, les fonctions {ab)(cd) —{ad){bc)f (of){de) — {ad){ef\ on obtient pour l'équation du Pascal abcdef
(a c){b - d){ef) = (a - «)(/- d){bc).
Il est d'ailleurs facile de voir qu'on peut mettre cette équation sous l'une ou l'autre des formes équivalentes :
(a - e)(6 -f){cd) = (c - e){b - d){a/), (c - a){b -f){de) = (c - e){d -f){ab).
Quant aux trois autres Pascals, abcdfe^ acbdef^ acbdfe, qui passent par le point {bc){ef), ils ont pour équations :
(a - c)(6 - d){e/) = (a.-/)(e - d)(bc), (a - 6)(c - d){ef) = (a - e)(/- d){bc), (a b)ic - d)(e/) = {a- f){e - d){bc).
Les trois Pascals,
(a - c){b - d){ef) = (a - 0(/- d){bc) = {b ^f){c - e){ad)
se coupent évidemment en un même point, qui est un point g de Steiner, tandis que les trois suivants
(a - c)(6 - d){ef) = (a - e)(/- d){^bc) = (6 - «)(c - /)(a^)
se rencontrent en un point h de Kirkman.
M. Gathcart a obtenu, de son côté, l'équation des droites de Pascal sous forme de déterminant. La relation à laquelle sont assujettis les points correspondants de deux systèmes homographiques peut, en effet (no 331), se mettre sous la forme
Aaa'-h B|a + Ga' -h D = o, et, si on élimine A, B, G, D, ou obtient Téquation
ax a a I
qui relie les quatre points a, p, y? ^ du premier système aux quatre points correspondants a', P', y', 5' du second, et qu'il suffit de résoudre, après y avoir fait 8 = 8', pour obtenir les points doubles. On sait d'ailleurs (no 328, Ex. iO), que le Pascal LMN passe par les points doubles K, K' des deux systèmes homograpbiques déterminés sur la conique par les sommets alternés AGE, DFB de l'hexagone; et comme M, R, L sont respectivement proportionnels à $>, 8, i lorsque $ est le paramètre du point K, l'équation du Pascal abcdef peut se mettre sous la forme
cul
be
