DES SYSTÈMES DE COORDONNÉES TANGENTIELLES

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Dans le cours de cet Ouvrage, nous avons habituellement considéré comme coordonnées tangentielles d*une droite /a + mp + n^f les constantes /, m et /i de l'équation de cette droite (n^ 70), et comme équation tangentielle d'une courbe, la relation à laquelle doivent satisfaire ces constantes pour que la droite soit tangente à cette

(') Voir, au sujet de ce déterminant, Catut, Phil. Trans. i858, p. 436.

courbe. Ce système de coordonnées tangentielles, auquel on peut du reste ramener tous les autres, nous a paru lié d'une façon plus intime aux théories qui font Tobjet de ce Traité. Nous donnerons dans cette Note quelques indications complémentaires sur ce système, et nous exposerons sommairement les principes de quelques autres systèmes de coordonnées tangentielles.

L'équation tangentielle d'un cercle de rayon r et dont le centre est en (a', P', y') peut s'écrire (n» 132, Ex. 6)

(/a'-hmP'-f-TiY')'

= r*(/* + 771» -+-/1* — 2m/icosÂ. — [an/cosB — a/mcosC),

et il est facile de voir qu'en égalant à zéro son deuxième membre, on obtient une équation qui peut se décomposer en deux facteurs, et qui, par suite, représente deux points. On sait d'ailleurs (n» 61) que le polynôme (/• -i- /n* 4- ...) a été formé en faisant la somme des carrés des coefficients /cosa + /ncos^ + /icosYi / sin a -h /n sin p -h 71 cos y, de a? et ^ dans l'équation cw; -4- ôj^ -H c = o qui correspond, en coordonnées cartésiennes, à l'équation trilinéaire /a4- /np -H /iy; on sait, en outre, que la relation a* h- 6* = o exprime que la droite ax -^ hy -\- c ^%\. parallèle à l'une ou à l'autre

des droites x -\-y >j — i =* o. Ces deux points sont donc les points cycliques (n<> 257).

Ce résultat peut du reste se déduire directement de l'équation tangentielle du cercle. En représentant en effet par co et o)' les deux facteurs dont le produit est égal à (/* -4-/7i' + ...), et par a le centre du cercle, cette équation prend la forme a' = r'a)u>', qui montre que (o et co' sont les points de contact des tangentes menées au cercle par ot.

On verrait, de même, que l'équation tangentielle d'une conique dont les foyers sont donnés, équation que l'on obtient en exprimant que le produit des distances d'une tangente quelconque aux foyers est constante, peut se mettre sous la forme

qui montre que la conique est tangente aux droites joignant les points 0), 0)' aux foyers (n® 279).

Le résultat obtenu en substituant les coordonnées tangentielles d'une droite dans l'équation d'un point est proportionnel à la distance de la droite à ce point (n<> 61); et en interprétant, d'après

S. —» Géom. à deux dim, 4^

ce principe, les équations tangeniielles a^ = k^^, ^ = k^*, on retombe sur les théorèmes démontrés comme réciproques au n« 311. De môme, le résultat obtenu en substituant aux coordonnées courantes de l'équation du cercle les coordonnées tangentielles d'une droite, est proportionnel au carré du segment que le cercle intercepte sur la droite; si donc £ et L' représentent deux cercles, l'équation £ = A:>£' exprime que Tenveloppe d'une droite, sur laquelle deux cercles donnés déterminent des segments qui sont dans un rapport constant, est une conique qui a pour tangentes les tangentes communes aux deux cercles.

Remarquons enfin qu'un système de deux points ne peut pas être représenté par une équation irilinéaire, pas plus qu'un couple de droites ne peut être représenté par une équation tangentielle. Lorsqu'on se donne une équation tangentielle représentant deux points, et que l'on forme, comme au n® 285, l'équation trilinéaire correspondante, on obtient peur résultat le carré de l'équation de la droite qui joint ces deux points, mais toute trace des points euxmêmes a disparu. De même, quand on se donne l'équation trilinéaire d'un couple de droites passant par le point (a', P', Y)> ^^ ^^^ ^'on forme l'équation tangentielle correspondante, on obtient l'expression (/a' -f- mp'-t- 71^')' = o qui représente deux points coïncidants; en réalité, toute droite rencontrant une courbe en deux points qui coïncident, peut être considérée analytiquement comme une tangente, et dans le cas particulier où une conique dégénère en un couple de droites, toute droite qui passe par le sommet du couple peut être considérée comme tangente au système.

On peut présenter la méthode des coordonnées tangentielles sous une forme qui ne suppose aucune connaissance préalable des systèmes de coordonnées cartésiennes ou trilinéaires. On peut, en effet, définir la position d'une droite par les distances de cette droite à trois points fixes (n<> 311), exactement comme on définit, en coordonnées trilinéaires, la 'position d'un point par les distances de ce point à trois droites fixes. Cela posé, il est facile de voir, en suivant la même marche qu'au n» 7, que si l'on désigne par X et {jl les distances d'une droite à deux points fixes A et B, la distance de celte même droite au point F qui divise AB dans le rapport de /n à / a

pour expression —= î- ; et par suite, que la relation / A 4- m |x = o,

qui exprime que la droite passe en F, peut être considérée comme

NOTBS. 659

réquatioD de ce point. Ainsi, en particulier, X + fx &s o représente le milieu de AB, et X — (i = o, le point situé à Finfîni sur AB.

On démontrerait de même que l'équation /X + m(x + /iv = o(no7, Ex. 6) représente le point 0 i^fig» Sg, p. 99) obtenu soit en divisant dans le rapport m + n : / la droite AD qui coupe BG dans le rapport n : m, soit en divisant dans le rapport n-\-l\n la droite BE qui partage AG dans le rapport n : /, soit enfin en divisant dans le rapport / + m : /t la droite GF qui coupe BA dans le rapport / : m. Et comme le rapport des aires des triangles AOB et AOG est le même que celui de BD à DG, l'équation du point 0 peut se mettre sous la forme

BOG.X 4- G0A.{x-4- AOB.v = o,

qui devient en remplaçant Taire de chaque triangle BOG par sa valeur p'p' sini (n« 311),

XsinO usin6' vsinO'

Les coordonnées X, {&, v de la droite de TinOni sont égales puisque tous les points situés à distance finie peuvent être considérés comme également distants de cette droite; il en résulte que le point /X-h/n(i + nv passe à Tinfini, quand on a / -h /n + n = o : et, plus généralement, qu'une courbe a pour tangente la droite de Tinfîni toutes les fois que la somme des coefficients de son équation est égale à zéro. On verrait, de même, que les intersections des médianes, des bissectrices et des hauteurs du triangle de référence ont respectivement pour équations

X-H|JL-hv = o, XsinA -4- fxsinB -H V sinG = o, X tangA + |JL tangB + v tangG = o.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce genre de coordonnées, parce qu'en définitive, ces coordonnées ne différent que par un facteur constant de celles dont nous avons fait précédemment usage. On sait, en effet, que la distance d'un point quelconque (a', P', y') & la droite /«-h mPj-4-nY a pour valeur (n« 61)

/a'-+-mP'-+-nY' //* -+-m« -H/»* — am/icosA — 2«/cosB — a//ncosG

et, comme le dénominateur de cette expression est indépendant de la position du point («', §', y')i les distances X, (i. et v des sommets

66o NOTES.

du triangle de référence à cette droite sont respectivement proportionnelles à Ip^ ntp\ np'\ py p\ p' représentant les distances de ces mêmes sommets aux côtes opposés du triangle. On peut donc facilement transformer les équations tangentielles que nous avons employées jusqu'ici, et qui sont homogènes en /, m, n, en de nouvelles équations où ne figurent plus, comme variables, que les distances X, (JL et V. Il est d'ailleurs évident, d'après ce que nous venons de dire, que les valeurs de X, {jl et v vérifient la relation

— ;-+- ~H — n — a-Î7-;C0sA— 2 -^7- cos B — a -î-, cosG = I. pt p't p'i pp' p^p pp'

Quant à la marche à suivre pour déduire de l'équation trilinéaire d'une courbe quelconque l'équation en coordonnées tangentielles de la courbe réciproque, nous l'avons indiquée précédemment (n> 3il).

Au système de coordonnées tangentielles, défini par trois points de référence, se rattachent deux autres systèmes de coordonnées, qui en paraissent indépendants de prime abord : ce sont ceux qu'on obtient en supposant qu'un ou deux des points de référence s'éloignent à l'infini.

Supposons qu'un des points de référence G {fig* laS) s'éloigne à l'infini; v et p' deviennent à la fois infinis; mais leur rapport reste

fini et égal à sinGOE, DOE étant une droite quelconque menée par le point 0. L'équation du point prend alors la forme

sinô X sin6' u, , ^^

p sinGOË p' sinGOE

Lorsque le point 0 est donné, cette équation ne contient que les deux variables X: sinGOE, (x: sinGOE, qui, en raison de l'égalité

NOTES. 66l

smGOE = smODA, peuvent être remplacées par AD et BE. Eq d'autres termes, si l'on prend pour coordonnées les segments AD et BE déterminés par une droite variable DE sur deux parallèles fixes AD et BE, toute équation, linéaire en X et (i, aX + 6fA + c = o représente un point, et peut être considérée comme la forme prise par l'équation homogène aX-H6fi. + cv=:o, lorsque le point v = o s'éloigne à l'infini.

Voici un exemple de l'emploi de ce genre de coordonnées. On sait, d'après la théorie des sections coniques, que l'équation générale du second degré peut se ramener à une équation de la forme a^ = k^^ dans laquelle a et ^ représentent certaines fonctions linéaires des coordonnées : et ce résultat analytique est complètement indépendant de l'interprétation géométrique que l'on peut donner des équations. On en conclut que, dans le système de coordonnées dont nous venons de parler, l'équation générale des courbes de la seconde classe peut se ramener à la même forme a^ = A:>; et, comme cette dernière équation représente alors une courbe, à laquelle appartiennent les points a et p, et qui a pour tangentes, en ces points, les parallèles joignant ot et p au point k situé à l'infini, on retombe ainsi

sur le théorème bien connu : Dans une conique, toute tangente variable détermine sur deux tangentes fixes et parallèles des segments dont le produit eit constant.

Considérons enfin le cas où deux des points de référence s'éloignent à l'infini. L'équation du point devient alors (fig. 124)

i^-i-sinO'sinBOD + sinO'sinCOE = o,

ou, comme il est facile de le voir,

sinO I . û, i • ftT p AD AK

66a NOTES.

Lorsque le point O est donné, cette éqattion ne renferme comme variables que les segments AD et AB. Si donc on prend, poor coordonnées d'une droite, les inverses des segments qu'elle détermine sur les axes, toute équation linéaire entre ces coordonnées représente un point, et toute équation du degré n, une courbe de la ni^a« classe.

11 est d'ailleurs évident que l'équation tangentielle obtenue de cette manière est de la même forme que celle que nous avons employée jusqu'ici, et qui a pour coordonnées soit les coefficients /, m de l'équation en coordonnées cartésiennes te + m^= i, soit les rapports mutuels des coefficients de l'équation analogue Ix H- my -h n = o.

EXPRESSION DES COORDONNÉES D'UN POINT DUNE œNIQUK