A L'AIDE D'UN SEUL PARAMÈTRE

Nous avons vu (n« 270) que les coordonnées d'un point d'une conique peuvent se présenter comme des fonctions du deuxième degré d'une troisième variable, ou paramètre. Nous allons montrei que réciproquement tout point dont les coordonnées sont reliées à un paramètre par des fonctions de cette espèce appartient à une conique. En mettant, en effet, ces fonctions sous leur forme la plus générale, on a

^ = a'X» -h 2 A'Xjx -f- ^V,

et, si l'on résout ces équations par rapport à X*, 2Xp,, {jl*, il vient

AX« = Ax -H A> -h k'z, aAXjjL = Ha: -h \Vy -{- \Vz,

A [JL» = Bx -f- B>.H- h'z,

où A, A, H, B, ... représentent respectivement le déterminant (aA'6') et les mineurs de ce déterminant. Le point {x^y, z) appartient donc à la conique

( Hx -h Hy -+- Wzy = 4 ( Aar H- My -4- A'z)(Bx -+- B> -f- B'^).

Pour déterminer les paramétres X : (x correspondant aux points où une droite quelconque olx -\-^y -^^z rencontre cette conique, il suffit évidemment de remplacer, dans l'équation de la droite, les

coordonnées x^y^ z par leurs expressions en X et {jl; on obtient ainsi l'équation

(aa -+- a'P -+- a'Y)X« -+- 2( Aa -H K^ -4- A'y)X|jl