èût + ^'P-4-6'Y){x« = o

qui est du deuxième degré en X : {jl.

La condition pour que la droite a^? + ^j^ + ^z soit tangente à la conique s'obtient d'ailleurs en écrivant que le premier membre de cette dernière équation est un carré parfait, ce qui donne

(aa -f- a'p -f- a'-^ih^ 4- b^ 4- h'^) = (/la 4- A'? H- A'y)*,

et cette condition peut être considérée comme l'équation de la conique réciproque (n»» 151, 321). Quand elle est remplie, on peut poser

aa -t- a'p 4- a"^ = /*, hn -H K^ -t- A'y = /m, ô « -♦- 6' ^ -f- 6'y = z^*, et on a, par suite,

Aa = A/« -H H /m 4- B/n«, Ap = A7» -i- H7/n -i- B7n«, Ay = A'/« H- H7m -4- B'm«.

Les coordonnées d'un point de la conique réciproque peuvent donc, ainsi que les coordonnées d'un point de la courbe primitive, être considérées comme des fonctions du second degré d'un certain paramètre, et les constantes des fonctions relatives à la réciproque ne sont autres que les mineurs du déterminant formé avec les constantes qui se rapportent à la courbe primitive.

On peut encore trouver l'équation de la conique, à laquelle appartient le point (a;, y^ ^), en considérant cette conique comme l'enveloppe d'une droite variable. L'équation de la droite joignant deux points (a?', y, if'), (ar*, j/^, y) de la conique s'obtient, en effet, en remplaçant dans l'équation (a?y^) = o du n® 132 (a), les coordonnées de chacun des points (a?', j^, V), (ar*, y, z') par leurs expressions en fonction du paramètre de ce point; et, si l'on exprime que les deux points sont infinin^ent voisins, il vient pour l'équation de la tangente en un point quelconque X : ]x

aX-hAfi a'X-f-A'fji a'X-4-A'|x = o, AX-i-6|x K\-\-h'^ ;/XH-è> I

ou en développant

( Aa? -+- A> 4- k'z) a« -+-(Har -f- H> 4- H'^) Xjjl

H- ( B a: 4- B> -h B'>5 ) |JL« = o .

Cette équation, linéaire en rr, y, z, contient le paramètre Xtjjl au second degré, et en lui appliquant la méthode indiquée au n** 283 pour la détermination des courbes enveloppes, on retombe sur la même équation que ci-dessus.

Lorsqu'on développe l'équation de la droite joignant deux points de la courbe, on trouve une expression de la forme

X XV -h Y( X|x' -t- X» -h Z HL|ji' = o,

mais on peut mettre en évidence la forme de cette équation sans avoir recours aux pénibles calculs d'un développement. Les coordonnées de l'un et l'autre point vérifient, en effet, les équations

a7r= aX*4- 2AX[H- 6fi.', ...

et comme on a, en raison de l'équation du second degré en X : jx,

ijl'jx'x» — (Xy-i- xy)Xjx-f. X'Xv = <>

il vient, en éliminant X*, X^x et {i',

o {xy —(xy-hXy) X'X'

X a xh b

z a" ih' b"

Lorsque les paramèti*es X : p. de n points d'une conique, n étant quelconque^ vérifient une équation algébrique homogène de degré /t. on peut, ainsi que l'a fait voir M. Burnside (*), interpréter géométriquement les invariants et les covariants de la forme binaire de /lième ordre qui constitue le premier membre de cette équation. Considérons d'abord la forme quadratique qui représente géométriquement un système de deux points sur la conique : elle n'admet pas d'aulre invariant que son discriminant, et lorsque ce discriminant se réduit à zéro, les deux points coïncident; il n'y a, du reste, pas d'autre question à se poser sur la situation relative de ces deux

(') Higher Algebra, n* 190.

points. Dans le cas de deux formes quadratiques, définissant deux couples de points, la réduction à zéro de rinvariant exprime que les droites passant par Tun et l'autre couple de points sont conjuguées, et le Jaco^ien représente les points où la polaire de l'intersection de ces deux droites rencontre la conique.

Passons maintenant à l'équation homogène du troisième degré : soient a, 6, c les trois points qu'elle représente, et ABC le triangle formé par les tangentes en ces trois points. Les deux triangles abc, ABC sont homologiques, et, en égalant à zéro le Hessien de la forme cubique, on obtient une équation qui a pour racines les paramètres des points où Taxe d'homologie de ces deux triangles coupe la conique; quant au covariant cubique, il représente les points où les droites Aa, Bb, Ce rencontrent la conique pour la deuxième fois. Enfin, quand les paramètres de quatre points, a, b, o, d^ vérifient une équation du quatrième degré, le covariant du sixième degré de la forme biquadratiquc fait connaître les points où la conique est rencontrée par les côtés du triangle qui a pour sommets {ab, cd), (acj bd) et {adj bc).