A TROIS AUTRES CONIQUES

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On peut obtenir cette équation en suivant une marche analogue à celle indiquée au n» 132 {e), Ex. 4. Soient S la conique

x^ -^y^ -f- ^« = o, et L, M les droites

Ix -H my -f- nz = o, l'x ■+• m'y + n'z = o.

La condition pour que les deux coniques S — L', S — M* se touchent peut s'écrire (n® 387)

(,S')(i-S') = (i-R)', en posant

Si Ton effectue, d'après les règles connues, le produit des deux expressions

rn}''

/TTs"' i

et si l'on désigne, pour abréger, par (la) la quantité

v'^i-a')(i-S')-(i - R), on obtient le déterminant

qui doit être nul, puisque les facteurs contiennent six lignes horizontales et seulement cinq colonnes. L'équation qu'on obtient ainsi est vérifiée par les invariants des cinq coniques qui ont un double contact avec S. Lorsque la conique (5) est tangente aux quatre autres, les expressions (i5), (25), ..• s'annulent, et les invariants des quatre coniques qui, ayant avec S un double contact, sont tangentes à une cinquième conique, satisfont à la relation

qui devient, après développement,

v/(i2)(34) ± •(i3)(24) ± /(i4)(îi3)

On peut déduire de cette relation, l'équation de la conique tangente

à trois autres coniques, en opérant comme il suit. Lorsque le discriminant d*une conique s'annule, S devient égal à i, et la condition pour que cette conique soit tangente à l'une quelconque des autres coniques se réduit à R = i ; il en résulte que, si un point (a, p, y) appartient à la conique S — L*, ce qui revient à dire que ses coordonnées a, p, Y vérifient la relation x* -hy^ -h .5* — ( /a? H- my 4- n-»)* = o, l'équation

représente une conique, dont le discriminant est nul, et qui touche S — L*. Par suite, étant données les trois coniques S — L', S — M*, S — N*, si l'on prend an point quelconque (a, p, y) sur la conique qui leur est tangente, et que l'on considère comme quatrième conique celle dont nous venons d'écrire l'équation, les quantités (i4X (^4)»

(34) ont respectivement pour valeurs I r=> i —y i —9

et les coordonnées d'un point quelconque de la conique tangente aux trois autres satisfont à la relation

V(23)(v/S — L) dz V(3i)(/S — M) dt v^(ia)(/S — N) = o.

SUR LE TRACÉ D'UNE œNIQUE ASSUJETTIE A CINQ CONDITIONS.

Nous avons vu (n^ 133) que cinq conditions suffisent pour déterminer une courbe du second degré; on peut donc, en général, tracer une conique lorsqu'on en connaît m points et n tangentes, m-\- n étant égal à 5. Nous ne pensons pas qu'il y ait grande utilité à traiter séparément les cas où parmi ces données s'en trouvent quelques-unes à rinfini, d'autant plus qu'il suffît presque toujours, pour construire la conique, de modifier légèrement la construction indiquée pour le cas général. Ainsi, par exemple, pour tracer une conique, étant donnés quatre points et une parallèle à une asymptote, ou, ce qui est la même chose, étant donnés quatre points à distance finie et un point situé à l'infini sur une droite donnée, il suffit évidemment de supposer, dans la construction indiquée au n^ 269, que le point E est à l'infini, et que les droites DE, QE sont parallèles à la droite

donnée ; ce qui n'entraîne pas une modification bien grande dans le tracé primitif.

On a souvent à déterminer une conique par des conditions autres que celles de passer par des points ou de toucher certaines droites. Une parallèle à une asymptote équivaut à une condition, puisque la recherche d'une conique assujettie à remplir cette condition et à passer en outre par quatre points donnés est un problème déterminé. Une asymptote vaut deux conditions, puisque c'est se donner une tangente et son point de contact, point qui est à Tinfîni sur Tasymp^ tote. Dire que la conique est une parabole équivaut à une condition, puisque cela revient à donner une tangente qui est la droite à l'infini. Savoir que la courbe est un cercle représente deux conditions, puisque tous les cercles passent par les deux mêmes points imaginaires situés à l'infini (n* 257). Un foyer vaut deux conditions puisque les droites qui joignent ce foyer aux points cycliques sont tangentes à la conique (n** 279); la méthode des polaires réciproques permet de voir d'ailleurs qu'un foyer et trois autres conditions suffisent pour déterminer une conique : en prenant le foyer pour origine, et formant la figure réciproque des trois autres données (n® 307), on ramène, en effet, la construction de la conique au tracé d'un cercle assujetti à trois conditions, problème qu'il est facile de résoudre par la Géométrie élémentaire; rien n'empêche, du reste, une fois le tracé effectué, de revenir à la conique par la transformation inverse. Nous laissons au lecteur le soin de déterminer, par ce procédé, les directrices des quatre coniques définies par un foyer et trois points.

Une droite et son pôle par rapport à la conique valent deux conditions. Soient, en effet, P le pôle de R'R' (yî^. 54, p. ^46) et T un point de la courbe; on aura un nouveau point T'de la courbe en construisant le conjugué harmonique T' de T par rapport à O, R; on sait d'ailleurs que si OT est une tangente, OT' en est une autre. Si donc on se donne, outre une droite et son pôle, trois points ou trois tangentes, on peut trouver immédiatement trois autres points, ou trois autres tangentes, et tracer la courbe.

Le centre équivaut à deux conditions, puisque le centre est le pôle de la droite à l'infini. Connaître un point du plan et un point de sa polaire ne représente qu'une seule condition. Savoir que la courbe est une hyperbole équilatère équivaut à deux conditions, car cela revient à dire que chacun des points cycliques se trouve sur la polaire de l'autre par rapport à la conique. Donner un triangle autopolaire équivaut à trois conditions.

lo Construire une conique connaissant cinq points. Nous avons montré (no 269) comment on peut, sans autre instrument que la règle, déterminer autant de points de la courbe qu'on le désire : on peut également trouver la polaire d'un point quelconque par rapport à la courbe (n^ 146), ou le pôle d'une droite donnée, et par suite le centre.

a© Cinq tangentes. On peut transformer, par voie réciproque, la construction du n^ 269, ou ramener ce problème au précédent d'après les indications de l'Exercice 4 du n» 268.

3* Quatre points et une tangente. Nous avons indiqué précédemment (no 345, Ex. 4) comment on peut résoudre ce problème, qui admet deux solutions, et qui, par suite, exige plus que l'emploi de la règle. On peut encore le résoudre comme il suit :

Soient AB, a, a', b, b' la tangente et les quatre points donnés; on a, d'après le théorème de Garnot (no 313)

Ac.Xc'.Ba.Ba'.Cb.Cb' — Ab.Ab'.Bc.B&.Ca.Ca',

et comme les points c et c' coïncident, cette relation suffît pour

déterminer le rapport Ac :Bc . On peut aussi ramener ce problème

à l'un des problèmes suivants, en observant qu'à l'aide des quatre points donnés (n^ 282) on peut immédiatement trouver les polaires de trois points, et qu'une fois ces polaires tracées, on peut en partant de la tangente donnée obtenir trois nouvelles tangentes; de telle sorte qu'on connait en réalité quatre points et quatre tangentes.

40 Quatre tangentes et un point. Ce problème peut se ramener au précédent, en formant la figure réciproque des données ; mais on peut aussi le résoudre directement en remarquant que les quatre tangentes permettent de tracer immédiatement les polaires de trois points du plan de la conique (n» 146, Ex. 3).

50 Trois points et deux tangentes. Le théorème suivant est un cas particulier de celui du n^ 344 : Les deux points où une droite rencontre une conique et ceux oii elle coupe deux de ses tangentes appar« tiennent à une involution qui a pour point double l'intersection de cette droite avec la corde de contact. Si donc la ligne qui joint deux des points données a et b est coupée par les deux tangentes en A et B, la corde de contact de ces tangentes passe par l'un ou l'autre des points fixes F et F', qui sont les points doubles du système (a.b.A.B) (no 286, Ex.). De même la corde de contact passe par i'un ou l'autre des points fixes G, G' situés sur la droite qui joint les

points donnés a et c. La corde de contact coïncide donc avec Tune ou Tautre des droites FG, FG', F'G, F' G', et le problème admet quatre solutions.

60 Deux points et trois tangentes. Le triangle formé par les trois cordes de contact a ses sommets situés chacun sur une des tangentes, et comme, d'après le théorème énoncé plus haut, chacun de ses côtés passe par un point fixe de la droite qui joint les deux points fixes, on peut cobstruire le triangle.

La construction d'une conique, étant donnés deux de ses points, ou deux de ses tangentes, n'est qu'un cas particulier de la construction d'une conique assujettie à avoir un double contact avec une conique donnée. Le tracé d'une conique doublement tangente à une conique donnée et tangente à trois droites, ou passant par trois points, a été indiqué aux n^* 328 et 387. Nous avons résolu au n* 286 le problème de trouver une conique ayant un double contact avec deux coniques données et passant par un point, ou tangente à une droite; et au u9 387 celui de tracer une conique ayant un double contact avec une conique donnée, et qui touche, en même temps trois autres coniques ayant, elles aussi, un double contact avec la première.

DES SYSTÈMES DE œNIQUES ASSUJETTIES A QUATRE