CONDITIONS

Les propriétés des systèmes de courbes assujetties à un nombre de conditions inférieur d'une unité à celui qui est nécessaire pour les déterminer, ont été étudiées par MM. de Jonquières, Chasles, Zeuthen et Cayley (*); nous nous bornerons dans cette Note à présenter quelques-unes des applications de la théorie des caractéristiques de Ghasles aux systèmes de coniques.

Lorsque dans un système de coniques satisfaisant à quatre conditions, il y a {JL coniques qui passent par un point donné, et v qui touchent une droite donnée, on dit que (jl et v sont les caractérisa tiques du système. Ainsi les caractéristiques d'un système de coniques passant par quatre points sont {x = i et v = a, parce qu'en ajoutant

(<) Pour rindication détaillée des sources originales voir Catlit, Philosophical Transactions, 1867, p. 75 ); voir aussi Padivui, Bulletin des Sciences mathématiques, t. III, p. i55.

aux conditions primitives un cinquième point on ne peut construire qu'une seule conique, tandis qu'en y ajoutant une tangente on peut en construire deux. De même, les caractéristiques des systèmes définis par trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, un point et trois tai^gentes, quatre tangentes, sont respectivement (ji = 2, V = 4), (4, 4), (4, 2), (2, i).

On peut déterminer à priori Tordre et la classe d'un certain nombre de lieux associés à ces systèmes en se basant uniquement sur les définitions que nous avons données de Tordre et de la classe : une courbe est du /i^^me ordre lorsqu'elle rencontre une droite quelconque en n points, réels ou imaginaires ; une courbe est de la nS^va^ classe lorsque par un point arbitraire on peut lui mener n tangentes, réelles ou imaginaires. Ainsi le lieu du pôle d'une droite donnée par rapport à un système dont les caractéristiques sont p. et v est une courbe de Tordre v. Si Ton examine, en effet, en combien de points ce lieu peut couper la droite donnée, on voit qu'il ne peut la rencontrer qu'autant que cette droite contient son pôle, c'est-à-dire qu'autant que cette droite est tangente à Tune des coniques du système : et comme, par hypothèse, ce contact ne peut se produire que dans v cas, le lieu est du degré v. Ce résultat est en parfaite concordance avec les résultats que nous avons obtenus dans quelques cas particuliers, comme la recherche du lieu des centres des coniques passant par quatre points, ou tangentes a quatre droites, etc.

Examinons maintenant comment on peut déterminer Tordre du lieu des foyers des coniques du système ({i, v). En généralisant la question conformément à la conception des foyers exposée au n^ 374, on voit que ce problème n'est qu'un cas particulier du suivant : Etant donnés deux points A et B, trouver le degré du lieu décrit par l'intersection des tangentes menées à chacune des coniques du système par A et B. Ce lieu ne peut rencontrer la droite AB, autrement dit ne peut avoir un de ses points T sur AB, qu'autant que AB touche en T une conique du système ; il est d'ailleurs facile de voir que, si cette condition est remplie, la tangente AT rencontre en T la tangente BT, et en B la deuxième tangente menée par B ; de même la tangente BT rencontre en A la deuxième tangente menée par le point A. II résulte de là que, à toutes les coniques qui touchent AB, correspondent sur AB trois points du lieu, et, par suite, que ce lieu est de Tordre 3v, et passe parA et B qui sont des points multiples de Tordre V. Le lieu des foyers des coniques tangentes à quatre

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droites est donc une cubique, qui passe par les points cycliques. Lorsque la condition que la droite A6 soit tangente aux coniques est une des conditions du système, toute transversale menée par \ rencontre le lieu en v points distincts de A, et, comme A lui-même est un point multiple de Tordre v, le lieu se réduit alors à l'ordre av. C'est le degré du lieu des foyers des paraboles assujetties à trois Conditions.

Dans la théorie des caractéristiques, on a fréquemment recours au principe suivant ; Lorsque deux points A et A', situés sur une même droite, se correspondent de telle sorte qu'à une position quelconque de A correspondent m positions de A', et qu'à une position quelconque de A' correspondent n positions de A, il y a m-{- n cas dans lesquels A et A' coïncident. Ce théorème se démontre, comme ceux des n»» 336 et 340 : Si l'on prend, en effet, pour axe des x la droite sur laquelle A et A' tracent une division, les abscisses x et x' de A et A' sont assujetties à une certaine relation qui est par hypothèse du ml*™® degré en x, et du ni^mo en a/, et qui devient, par suite, du degré m-\- n lorsqu'on y fait a? = j/.

Gomme application de ce principe, cherchons l'ordre du lieu des points tels que chacun d'eux ait la même polaire, par rapport à une conique fixe, et par rapport à l'une des coniques du système. Pour savoir le nombre des points du lieu qui peuvent se trouver sur une droite donnée il suffît de prendre sur cette droite deux points A et .A' tels, que la polaire de A par rapport à la conique fixe coïncide avec la polaire de A' par rapport à Tune des coniques du système, et de voir dans combien de cas A et A' coïncident. Lorsque A est fixe, sa polaire par rapport à la conique fixe est donnée et le lieu des pôles de cette polaire par rapport aux coniques du système est, d'après le premier théorème énoncé dans la présente Note, de l'ordre v; on peut donc assigner, sur la droite donnée, v positions au point A'. Examinons maintenant à combien de positions de A correspond une position déterminée de A'. D'après le théorème réciproque du théorème que nous venons de rappeler, les polaires de A', par rapport aux coniques du système, enveloppent une courbe de la classe \l, courbe à laquelle on peut, en conséquence, mener \l tangentes par le pôle de la droite AA' dans la conique fixe. Il en résulte que, à toute position de A' correspondent |x positions de A, et par suite, qu'il y a (x + v cas dans lesquels A et A' coïncident. Le lieu cherché est donc de Tordre [x -h v.

Ce qui précède permet de déterminer immédiatement quel est, dans un système donné, le nombre des coniques qui touchent une conique fixe, puisque chaque point de contact a la même polaire par rapport à la conique fixe, et par rapport à l'une des coniques du système. Ce point de contact se trouve donc à Tintersection de la conique fixe avec le lieu trouvé précédemment, lieu qui la rencontre évidemment en !2(^ + v) points. On obtient ainsi le nombre de coniques qui, touchant une conique fixe, sont assujetties à quatre conditions : quatre points, trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, etc. Ces nombres, qui sont respectivement 6, 12, 16, 12, 6, permettent de calculer les caractéristiques des systèmes de coniques qui touchent une conique et satisfont à trois autres conditions : trois points, deux points et une tangente, etc. : ces caractéristiques ont pour valeurs respectives (6, 12), (12, 16), (16, 12),

De même, les coniques de ces différents systèmes qui touchent une deuxième conique fixe sont au nombre de 36, 56, 56, 36, ce qui donne (36, 56), (56, 56), (56, 36), pour les caractéristiques respectives des systèmes dont les courbes touchent deux coniques fixes et satisfont en outre à deux conditions : deux points, un point et une tangente, deux tangentes.

Les coniques de ces différents systèmes qui touchent une troisième conique fixe sont au nombre de 184, 224, i84 : on a ainsi (184, 224), (224, 184) pour les caractéristiques des systèmes définis par trois coniques et un point, trois coniques et une tangente.

Enfin, le nombre des coniques de ces derniers systèmes, qui touchent une quatrième conique est pour chacun d'eux de 816; il résulte de là qu'on peut mener 3264 coniques touchant à la fois cinq coniques données.

Nous renverrons pour de plus amples détails aux Mémoires déjà cités, et nous nous contenterons d'ajouter ici que 2v — (x coniques du système se réduisent à un couple* de droites et 2[l — v à un couple de points.