FIN DE LA TABLE DES MATIKHES
TRAITÉ
DE
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
DU POINT
§ I. — Coordonnées rbctilignes.
1. La position d'un point sur un plan peut se déterminer de bien des manières différentes. La méthode suivante est la plus fréquemment employée : elle a été indiquée par Descartes, qui l'a exposée dans sa Géométrie en 1637.
Soient XX', YY' {fig^ i) deux droites fixes se coupant en
O, et P un point appartenant au plan de ces deux droites. Par ce point P, menons les parallèles PM et PN aux droites fixes YY' et XX'. Quand le point P est donné de position, S. — Géom. à deux dim, 1
les longueurs PM et PN de ces parallèles se trouvent complètement déterminées ; et réciproquement, quand ces longueurs sont connues, on a tous les éléments nécessaires pour fixer lu position du point P.
Étant donnés, par exemple, PN == a, PM ^^ 6, il suffit, pour trouver le point P, de prendre OM = a, ON = 6, et de mener les droites MP et NP parallèlement à OY et à OX; l'intersection de ces droites est le point cherché P.
On représente habituellement par la lettre jk la parallèle PM à OY, par la lettre x la parallèle PN à OX. On dit alors que le point P est déterminé par les deux équations x= a^y=:b,
2. Les parallèles PM et PN s'appellent les coordonnées du point P; PN, qui est égal au segment OM, déterminé sur OX par PM, porte plus particulièrement le nom à^abscisse, et MP celui i* ordonnée.
Les deux droites fixes XX' et YY' sont les axes de coor-" données : la première est Vaxe des Xj la deuxième Vaxe des y ; le point O , où les axes se coupent^ prend le nom A^ origine. Les axes sont rectangulaires om. obliques, suivant qu'ils se rencontrent sous un angle droit ou sous un angle difTérent d'un angle droit.
Il est facile de voir que les coordonnées du point M {flg* i) sont ic -- a, ^ = o ; celles du point N, ^a? = o, / = 6 ; et celles de l'origine, x ^= o^ y -- o.
3. Pour que les équations x = a^ y =^ b ne représentent qu'ww seul point, il faut faire intervenir dans la construction indiquée au numéro précédent non seulement la grandeur, mais encore le signe des coordonnées.
Lorsqu'on fait abstraction du signe des coordonnées, on peut prendre {fig* 2) OM--aet 0N = 6, aussi bien d'un côté de l'origine que de l'autre, et les coordonnées de l'un quelconque des quatre points P, P^ PjjPa, que l'on obtient ainsi, satisfont aux équations x ^= a^y =^b. Mais il est facile
d'établir ddc distinction algébrique entre les segments, tels que OM et OM', qui ont même longueur et qui doivent être mesurés suivant des directions opposées: il suffît pour cela
de donner à ces segments des signes contraires, ce qui revient, en règle générale, à considérer comme positifs tous les segments qui doivent être mesurés dans un même sens convenu, et comme négatifs, tous ceux qui doivent être mesurés en sens contraire. La direction suivant laquelle doivent êtrr portées les longueurs positives est complètement arbitraire ; toutefois l'usage a prévalu d'attribuer le signe -{- à toutes les longueurs OM et ON, mesurées en allant de gauche à droite sur l'axe des x, ou en montant de bas en haut sur l'axe des^. Ces conventions présentent la plus grande analogie avec celles qui sont adoptées en Trigonométrie. En les apphquant aux coordonnées des poiitts P, P,, Pa, Pi, on trouve pour leurs valeurs respectives
ai=:-\-a, y=-irb; x^~a, y^^b; :c:=-ha, y^-^b; asr= — a, y^ — b;
ce qui permet de distinguer facilement ces quatre points l'un de l'autre.
Remarque. — On désigne souvent, pour abréger, par point (a, b), point {x'^y'), les points qui ont pour coordonnées :i: -= a, j' = 6 ou X -=: x',y ^^y.
Il résulte de ce que nous avons dit plus haut que les points
( -f- a, + 6) et ( — a, — 6) se trouvent sur une même droite passant par l'origine, sont également distants de l'origine et sont situés dans des régions opposées par rapport à cette origine.
4. Trouver V expression de la distance 8 des deux points {^} y)} {^7 y)} i^s coordonnées étant rectangulaires.
Soient P et Q {fig* 3) ces deux points ; PM et QM' leurs
Fig. 3.
xr
M' Il 1
ordonnées. Le triangle PQS, formé en menant QS parallèlement à OX, donne, pour la distance PQ,
et comme
on a
