Trouver le point {x,y) situé à égale distance des points
(2, 3), (4, 5) et (6, i).
En opérant comme dans l'Exemple précédent, on obtient, pour déterminer les inconnues x ety, les deux équations
la distance de ce point à chacun des trois autres est égale à — »—*
6. La distance de deux points étant exprimée par une racine carrée peut recevoir le double signe, et nous savons que si la longueur PQ, mesurée dans le sens PQ, reçoit le signes-, la longueur QP, mesurée dans le sens contraire QP, reçoit le signe — . Lorsqu'il s'agit simplement de la distance entre deux points , il n'y a pas lieu de se préoccuper du signe, puisque ce signe ne sert qu'à indiquer si cette distance doit s'ajouter à une autre distance, ou s'en retrancher; mais il n'en est pas de même lorsqu'il y a plusieurs distances à considérer. Quand, par exemple , on se donne trois points en ligne droite P, Q, R, et les deux distances PQ, QR, on a PR = PQ -[- QR; et, d'après ce qui a été dit plus haut, cette équation reste toujours vraie, que le point R soit ou non entre P et Q. Car s'il est en dehors de P et Q, PQ et QR se trouvent mesurées en sens contraire, et leur différence arithmétique est encore égale à leur somme algébrique.
DU POINT
Le cas où les droites sont parallèles à l'un des axes est le seul pour lequel il ait été établi une convention sur la direction qui doit être regardée comme positive.
7. Trouver les coordonnées du point R qui divise dans le rapport ml n la c^oite joignant les deux points P et Q.
Menons les ordonnées QN, RS, PM {fig> 4 ) ? et soient x^y ;
x'^y\ a^ y y^ les coordonnées des points R, P et Q; nous aurons
m:/i::PR:RQ::MS:SN,
ou
m',n',\x' — x\x — x'y c'est-à-dire
mx — nx" HZ nx' — nx ;
d'où
ma/' -f- nx'
Nous trouverions de même
mx" ^ ny'
Quand le point R, au lieu d'être situé entre les points P et Q, se trouve en dehors de ces points, autrement dit, lorsque la droite PQ doit être divisée extérieurement dans le rapport
de m à n, on a
mm:: v ~a/ :x — a?',
et par suite
mûc" — n.7/ my" — ny'
Ces formules ne diffèrent des précédentes que par le siçne de n, ou, ce qui revient au même, parle signe du rapport m : n. Cette particularité s'explique aisément. Quand la droite PQ est divisée intérieurement , les segments PR et RQ sont mesurés suivant la même direction, et leur rapport (n^ 6) doit être considéré comme positif. Lorsqu'au contraire la droite PQ est divisée extérieurement, les segments PR et RQ se trouvent mesurés suivant des directions opposées, et leur rapport doit être considéré comme négatif.
Exercices.
i. Trouver les coordonnées du milieu de la droite joignant les points {x\y) et {x'^y").
n, a?' -h œ Y -f- y' Réponse. x — > y = ' '— •
2. Trouver les coordonnées des milieux des côtés du triangle ayant pour sommets les points ( 2, 3 ), (4, — 5 ), ( — 3,-6).
Réponse. -> ; > ; 3, — i.
^ JL ^ Xt
3. On divise en trois parties égales la droite joignant (a, 3), {^j — 5); trouver les coordonnées du point de division le plus 9r)(sin du premier point.
Réponse. 37= ^j ^=5'
4. Les coordonnées des sommets d'un triangle sont x\ y\ x\y'\ a?*!^*; une des médianes est divisée en trois parties égales;
DU POINT. 9
trouver les coordonnées du point de diçision le plus éloigné du sommet d'où part la médiane.
Réponse, x = 5— y y = ^ -^ -^
5. Trouver les coordonnées de l'intersection des médianes du triangle de l'Exemple 2.
Réponse. x=i, y — — r«
6. On joint au som.met d'un triangle \le point qui divise le côté opposé dans le rapport de m : n; trouver les coordonnées du point qui divise la droite de jonction dans le rapport de m,-h n: l. •
n, It'-\- m-r'-h nx' ly -^ my' -\- ny"
Réponse, x = ; , v — - — = — r '■^— •
§ II. — Transformation des coordonnées.
8. On appelle transformation des coordonnées Topération à laquelle on est conduit lorsque, connaissant les coordonnées X ely d'un point P par rapport à un système d'axes rectilignes Oa? et O^, on veut déterminer les coordonnées X et Y de ce même point P par rapport à un autre système d'axes O'X et O'Y.
Nous examinerons successivement trois cas.
i^ Les noui^eaux axes sont parallèles aux anciens. Seient (yî^. 5) O^, Oy les anciens axes; O'X, O'Y les
nouveaux; j:'-= 0'S,^= O'R les coordonnées de la nouvelle
lO
origine O' par rapport aux anciens axes; x = OM, j^ -— PM les anciennes coordonnées du point P; X = O'N et Y = PN les nouvelles ; on aura
c'est-à-dire
OM = ORh-RM, PM=:PN-hNM,
XTnix'-^H, yzrzy'-hY.
Ces formules sont évidemment indépendantes de Pangle que les axes font entre eux,
9. — 2° On change la direction des axe9 sans déplacer l'origine.
Soient {/ig' 6) Oa:, Oy les anciens axes ; OX, OY les nou-
Fig. 6.
veaux; OQ =za: et PQ :— ^ les coordonnées du point P par rapport aux anciens axes ; ON =zz X , PN = Y les nouvelles coordonnées. Désignons par a et g les angles que OX et OY font respectivement avec l'ancien axe des œ ; par a' et p' les angles que ces mêmes droites font avec l'ancien axe des y. Si (i) est l'angle ^0:r compris entre les anciens axes, nous aurons
évidemment a-f-a'=o), puisque jLOx-hjLOy = xOy; et de même p -f- p' r=r w.
Pour obtenir facilement les formules de transformation, il suffit d'exprimer, en fonction des anciennes et des nouvelles coordonnées, les longueurs des perpendiculaires abaissées
DU POINT. II
du point P sur les axes primitifs. Pour cela, menons à O^ les perpendiculaires PM, NR et la parallèle NS. Nous avons
PMzzrPQsinfÎQM; ou
PM r=::/sin(i).
Riais
PM = NR -^ PS =: ON^in JVOÎi + PN sinPIS^ ;
donc
ysiuiû znXsina -h Ysinp.
Nous trouverions de même
a?sin(i) = Xsina'4- Ysinf, ou
â?siii(o = Xsin(oD — a) -h Ysin(a> — p).
Dans la /ig. 6, les angles a, ^ et (o sont tous mesurés du même c^té de Ox; et les angles a , p' et o) tous du même côté de Oj^ : si l'un de ces angles se trouvait mesuré de l'autre côté de O a: ou de O^, on devrait lui donner le signe — .Si, par exemple, OY se trouvait à gauche de O^, Pangle ^ serait plus grand que <û, 3'= (g) — p) serait négatif, et par suite le coefficient de Y dans l'expression dearsinu) le serait aussi; c'est ce qui arrive dans le cas suivant, qui se présente assez souvent, et auquel nous consacrerons une figure spéciale.
Passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées rectangulaires, les axes du nouveau système faisant un angle 6 a\?ec les axes de l'ancien.
Nous avons, dans ce cas,
a = 6, p=i9o*-l-6, a'^rgo**— 0, p'=: — 6,
la
et les formules générales deviennent
^ r=r X sin ô -H Y cos6, a? = X cos 6 — Y sîn 0.
On peut démontrer directement ces formules : soient en effet (^fig^ 7) Oa:, O^les anciens axes, et OX, OY les nou-
Fig. 7.
veaux; menons PM et NR perpendiculairement à Oar, NS parallèlement au même axe, et PN perpendiculairement à OX; nous aurons
j^ = PM =1 PS -H NR, a:-^OMzrzOR-SN;
et ces formules se ramènent aux précédentes, puisque PSzrrPNcose, NR=:ONsinô; OR==rONcose, SN = PNsin6.
Le cas suivant se présente assez fréquemment dans la pratique :
Passer d'un système de coordonnées obliques à un système de coordonnées rectangulaires ayant le même a:ce des x.
On peut déduire les formules à employer des formules générales, en y faisant
a = o, p — 90®, a'=co, p'=:(D — 90^ Mais il est plus simple de les déterminer directement.
DU POINT. l3
Soient PQ et OQ les anciennes coordonnées (Jig* 8), PM
Fig. 8.
et OM les nouvelles ; nous aurons, puisque PQM = (d,
Y^rj^sino), Xi=: JJ -h/COSO).
et par suite, pour exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles,
^sino)=:Y, j; sin (I) = X sin (D — Yco8a>.
10. — 3** On change à la fois V origine et la direction des axes.
La confbinaison des formules obtenues dans les deux numéros précédents permet de trouver les coordonnées d^un point par rapport à un nouveau système d'axes occupant une position quelconque. On calculera d'abord (u®8) les coordonnées du point par rapport à un système d'axes parallèles aux anciens et passant par la nouvelle origine, puis ensuite (n® 9) les coordonnées de ce point par rapport au système donné.
Les formules générales de transformation s'obtiennent évidemment en ajoutant les coordonnées x' et y de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes aux valeurs de o; et de^ données au n® 9,
Exercices.
