Vérifier de même qu'on a, en général

a?î i^ï f- %xy cosa?0^ = X* -h Y* -+- aXY cosXOï.

Si Ton pose

Xsina-4- Ysinp = L, X cosa-h Ycosp — M,

les formules du n9 9 peuvent s'écrire

j^sinfli»=:L, ârsinw = M sin«i — Lcosu; d'où

sin*o« {x^ -^y^ -T- 2a?^coSft») = (L^-i- M*)sin*aj.

On a d'ailleurs

L»-hM«=X«-f-Y«4-2XYcosC« — P3 et a — p=5^.

DU POINT. l5

11 La transformation des coordonnées ne change pas le degré d'une équation existant entre les coordonnées d'un point.

La transformation ne peut augmenter le degré de l'équation, puisque les termes x'^j y"*^ ... du degré le plus élevé dans Téquation donnée se trouvent remplacés dans l'équation transformée par les termes

[o/sinai -h X sin(» — a) -♦-/sin(w — P)]'", (j'sinw -f- aîsinaH- jsinp)'",

qui ne contiennent pas x et y à un degré supérieur à m,

La transformation ne peut pas non plus diminuer le degré de l'équation, car il faudrait alors que la transformation inverse augmentât le degré de l'équation, ce qui est impossible, comme on vient de le voir.

§ III. — Coordonnées polaires.

12. On détermine quelquefois la position d'un point P {fie '9) P^ ^* distance p ^^ OP à un point fixe O, et par

l'angle 0 que fait la droite OP avec une droite fixe OB passant par le point O.

La droite OP porte le nom de rayon vecteur; le point fixe, celui de pôle. La distance p et l'angle 0 sont les coordonnées polaires du point P.

La relation qui existe entre les coordonnées rectilignes

X = OM , y

PM d'un point P {Jig* lo) et ses coordon

Fig. 10.

O MX

nées polaires p = OP et 6 = POM s'obtient assez facilement lorsque le pôle coïncide avec Torigine.

i" La droite fixe coïncide avec Vaxe des x. Le triangle POM donne la proportion

OP : PM : : sin PM^: sin^ON?; d'où l'on déduit, en observant que PMO= i8o® — cii.

PMznj On trouverait de même

p sin 6

smo)

p sin (w — e ) OM = a? = ; -*

sinco

Quand les coordonnées sont rectangulaires , ce qui est le cas le plus général, o) est égal à 90®, et Ton a simplement

. a7=:pcosô, j^=:psin6.

2* La droite fi^e OB {fig* 1 1) fait avec Vaxe des x un angle a.

Fig. II.

On a alors

POM = 6 — a,

DU POINT. 17

et il suffit de remplacer 6 par Ô — a dans les formules précédentes pour obtenir les relations cherchées. Dans le cas des coordonnées rectangulaires,

J7=: pC0s(6 ~ a), j=psin(0 — a).

Exercices.

1. Rapporter à des coordonnées polaires les équations suiçantes, relatives à des coordonnées rectangulaires :

x^-h^*= 5 mx, X* — jr* = a*.

Réponse. p = 5m cos d, p* cos 26 = a*.

2. Rapporter à des coordonnées rectangulaires les équations suivantes, relatives à des coordonnées polaires :

P^ cos -B — a*> p^ = a* cos - B.

Réponse.

xy — a«, (a7«-t-7«)« = a*(a:«— 7»),

13. Exprimer la distance 5 rfe deux points en fonction des coordonnées polaires de ces points.

Fig. 12.

Soient P et Q {fig> 12) les deux points, O le pôle et OB la droite fixe.

S. — Géom» à deux dim.

l8 CHAPITRE I. — DU POINT.

Le triangle PQO donne

PQ'= OpV ÔQ— 2OP.OQ cos^O^; et si Ton fait

on trou/e pour la distance cherchée

a» rzz p'»-^ p'^î- a py cosCô"— e').

14. Deux équations quelconques en x et y représentent géométriquement un ou plusieurs points.

Lorsque ces équations sont toutes deux du premier degré, comme dans l'Exemple 5 du n® 5, elles représentent un seul point. En les résolvant par rapport kx ely^ on obtient en effet deux équations de la forme x =z a^y=^b^ et ces équations, ainsi que nous l'avons démontré dans le Chapitre précédent, ne déterminent qu'un seul point.

Quand les équations données sont d'un degré plus élevé, elles représentent plusieurs points. Soient, en effet, ai, «3, aa, • • • les racines de l'équation en x que l'on obtient en éliminant y entre les deux équations, et^D 03) ^s 7 • • • les valeurs que l'on trouve pour y en faisant successivement x == «j, j? = «a? • • • dans l'une ou l'autre de ces deux équations. Le système des valeurs x = (i%^y=^^\ satisfait aux équations primitives. Le point (ffi ) 0i) qu'il définit (n** 3 ) est donc l'un des points représentés par ces équations, et il en est de même des autres points

(^27 ^2)7 (<X3) 0s)i Les deux équations données représentent

donc autant de points que l'on peut trouver de systèmes de valeurs de x elàey satisfaisant à la fois à ces deux équations.

Exercices.