Trouver les diagonales du parallélogramme formé par

X = a^ X z=z a, y =z b, y z=.b' . Réponse»

(b — b')x — (a — a)y = ab — ab' , (6 — 6')a?-4-(a — a')y = ab — ab\

7. On prend pour axes la base d^un triangle et la m,édiane correspondante; trouver les équations des autres médianes et les coordonnées de leur point d^ intersection, les coordonnées du sommet opposé à la base étanê o, y'j celles des autres sommets x\ o et — a?', o.

Réponse, ^x'y — yx — a:'y=o, âa?'/-h-ya:— a:'y = o; ( *>> 3 )'

8. On prend pour axes les côtés opposés d'un quadrilatère, et les autres côtés ont pour équations

'la 26 aa %o

trouver les milieux des diagonales.

Réponse. (a^b'), {a,b),

9. Mêmes données; trouver les coordonnées du point milieu de la droite qui Joint les points d'intersection des côtés opposés.

a'b.a — ab'.a a'b.b — ab',h

Héponse. ■-. f-, — > — r,- r; — •

^ a 0 — ao a o — ao

La forme de ces expressions montre (n** 7) que ce point appartient à la droite passant par les milieux des diagonales et la divise extérieurement en deux segments qui sont dans le rapport ab : ab\

32. Trousser j en coordonnées rectangulaires y V équation de la perpendiculaire abaissée d^ un point donné i^x\ y^ sur la droite y z.- mx -f- b,

La condition pour que deux droites soient perpendiculaires impliquant la relation mm' -^ -- 1 (n®25), on a pour inéquation cherchée

On trouverait de même, pour la perpendiculaire abaissée du point {x\y' ) sur la droite Kx -\- B^ -f- C ^^ o , l'équation

qui peut se déduire de celle de la droite donnée en y permutant les coefficients de x et de y, et en y changeant le signe de l'un d'eux.

Exercices.

I . Trouver les équations des hauteurs du triangle ('à, 1 ), ( 3, — 2 ),

Les équations des côtés sont (29, Ex. 1)

a: -h 7 V -f- 1 1 — - o, Sy — x = i, Sx-i-j^r^;, et celles des hauteurs

'px—y = i3y 3a?-{-x==7» 3^ — a: — r. Le triangle est rectangle.

2. Trouçer les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du même triangle.

Les points milieux étant

les perpendiculaires ont pour équations

7^--^-f-a — o, 3a?-}-^-f-3 = o, Zy—x-v-^ = o,

.11 . f i Z\ et elles se coupent au point j ? J.

3 . Trouver les éq uations des hauteurs du triangle ( a, 3 ) , ( 4 , — 5 i , ( — 3, —6) (29, Ex. 2).

Réponse. 7ar-f-^--i7, 5ar 4- 9^ -t- 25 = o, x — 4^=21.

^ , . . /"Sg i3o\ Ces droites se coupent au point f -, .

4. Trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du même triangle,

Réponse. yx-\-y -^ :i = o, 5a?-f- 9;^ h- 16 = o, x — 4^=7»

Ces droites se coupent au point ( > )•

5. Trouver les équations des hauteurs du triangle ayant (*',y)i (^'»y). {x", y") pour sommets.

Réponse,

{af — x^)x-^{y -^y'')y^{x' x^-^yy") - {xx'^yy") rrr o, (a?*— ip')a?-+- {y' — y ) y -\- (x'x -^y y ) — ^^x' x'^ -^y'y'')-^o, {x' —a^)X'\- {y —y')y'^ ix'x' -^-y'y') — i^' x -^ y" y ) — o.

6. Trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du même triangle.

Réponse.

(a?'-^')ar+(y-7')7=i(a?'«-ar'2)-f-i(y«-/»).

7. On prend pour axes la hase d'un triangle et la hauteur correspondante ; trouver Véquation des deux autres hauteurs et les coordonnées de leur point d'intersection. Les coordonnées des extrémités de la base sont (a?*, o), ( — a?*, o), et celles du sommet opposé, (o,y).

Réponse,

x'i^x — x'^-\-yy = o^ x''{x -hx'')—y'y = Oy f o, — r- )•

8. Mêmes données; trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, et les coordonnées de leur intersection.

Réponse.

^{x" x-^yy) =y'^ — x'^, 2(a?'a? — yy)=:x'^ — y^, aa? = a7' — x',

9. Trouver l'équation de la perpendiculaire abaissée du point {x,y') sur la droite xcosa-\-y siiia=pf et les coordonnées du pied de cette perpendiculaire.

Réponse. y — y -= tanga {x — a?'),

2f'-+- {p — ar'cosa — j'' sina)cosa, y -\- (p — ar'cosa — y'sina)siaa.

10. Trouver la longueur de cette perpendiculaire. Réponse. ^(P — ar'cosa — ^sina).

33. Trouver en coordonnées rectangulaires Véquation d'une droite passant par un point donné {x'^y')^ et faisant un angle ç avec la droite y = mx + 6.

Soit

y — y — m\X'-oc^)

Téqualion cherchée, nous aurons (n®25)

Ung<p z= -y-

mm'

d'où

m — tangy i -^ m tangïf

34. Trouver la distance d'un point {x^^y) à la droite X cosa -T-y cos p =/>.

Nous avons déjà résolu (n® 32, Ex. 9 et 10) cette question ; nous indiquerons ici comment on peut utiliser les considérations géométriques pour arriver au même résultat. Soient MN (Jig» 19) la droite donnée, OR la perpendiculaire abaissée

Fig, 19.

de l'origine sur cette droite, QK =^ l'ordonnée du point donné Q.

Menons à la droite donnée les parallèles QK et KT, et la perpendiculaire QS. Nous aurons

OKizia?', OT -ira/ cosa;

et, en observant que SQK ^= 0,

RTimQSr^/cosB,

ce qui donne, en définitive,

x' cosa -h y cosp — OR.

46 CHAPITRE If.

Retranchant de chaque membre la distance OP ::= /> de l'origine à la droite, on a, pour la distance cherchée,

x' cosa -\- /' cosp —/>!=: PR =^ QV.

Si Ton avait pris dans la figure le point Q du même côté de la dooite que l'origine, OR eût été plus petit que OP, et l'on aurait trouvé p — a:' cosa — jk'cos^ pour la valeur de la distance cherchée; cette distance change donc de signe suivant que le point se trouve situé d'un côté ou de l'autre de la droite. Lorsqu'il ne s'agit que d'une seule distance, on peut ne considérer que sa valeur absolue , abstraction faite du signe ; mais quand on a à comparer les distances de deux points, tels que Q et S, il faut nécessairement (n® 6) tenir compte des signes de ces distances QV et SV, puisqu'elles se trouvent mesurées suivant des directions opposées. Le sens positif étant en soi arbitraire, on peut prendre, pour représenter la distance d'un point à une droite, l'expression (/> — a:'cosa — j^'cosp), soit avec le signe -|-,soit avec le signe — .En la prenant avec le signe H-, autrement dit en supposant le terme constant positif, on considère comme positives les distances des points situés du même côté de la droite que l'origine , et comme négatives les distances des points qui se trouvent de l'autre côté. Si l'on prenait l'expression avec le signe — , ce serait l'inverse qui arriverait.

Quand l'équation de la droite est donnée sous la forme

Aa; 4- B j H- G ~ o,

il suffit de la ramener (n® 24) à la forme

j? ces a -H / cos p — pz=.o

pour obtenir la distance cherchée. On trouve ainsi, pour la distance du point [x'^y') à la droite Kx H- B/ -j- G = o ,

A;r'4-B/4-G (Aa:'-+-Br'-f-G)sino)

— ou -^-r- — ' y

\/h} -h B* v^* -f- B* - 2 AB cosw

suivant que les axes sont rectangulaires, ou obliques sous Pangle o). En comparant les distances respectives de la droite au point {x'^y') et à l'origine, on voit que le point (x'^y) se trouve du même côté de la droite que l'origine lorsque \x-\- B^'4- C a le même signe que C, et inversement.

La condition nécessaire pour qu'un point {x'^y') se trouve sur une droite Ax -\- Bjk + C ::== o s'obtient évidemment en exprimant que ses coordonnées x' et /' satisfont à l'équation de cette droite, ce qui donne

Aa7'-hB/4-G=:o.

(jette condition, d'après ce qui précède, peut être considérée comme la traduction algébrique de ce fait : que la distance du point à la droite est nulle.

Exercices.

1. Trouçer la distance de l'origine à la droite ^x -r- iy -+- 20 — o, les aspes étant rectangulaires.

Réponse. 4-

' 2. Trouver la distance du point (1,3) à la droite 'ix -^-y — 4 ■ «•

Réponse, —p. Le point n'est pas situé du même côté que

Torigine.

3. Trouçer les hauteurs du triangle (2, i), ^3, — 9.), ( — 4, — i ). Réponse. 2/2, /îoj 2/10. L'origine est à l'intérieur du triangle.

4. Trouver la distance de (3,-4) à 4^-H 2^ -- 7, V angle des €uces étant de 6o<^.

Réponse. 7 • Le point est du même côté que Torigine.