Trouver la distance de l'origine à la droite

Réponse. /a* -h 6*.

3S. Trouver l'équation de la bissectrice de V angle compris entre les deux droites

d:cosa -H^sina — /? = o, X cos p H- j^ sin |5 — p' = o.

Le moyen le plus simple de trouver cette équation consiste à exprimer algébriquement la propriété connue : Les points de la bissectrice d'un angle sont à égale distance des côtés de cet angle. On obtient ainsi l'équation

.27 cos a -\- ysina — /?= ±:(a?cosp -h/sinp — />'),

où chacun des membres exprime la distance d'un des points du lieu à l'une des droites données (34).

Quand les équations des droites sont données sous la forme Aj: + B^-f- C --- o, A'a; -r B'^ + C'= o, on trouve pour Téquation de la bissectrice

A^-f-Br + G . A'^-hB'r + C

Le double signe montre qu'il y a deux bissectrices. Les points de la première sont à égale distance de l'une des droites, dans la région que nous considérons comme positive, et de l'autre droite dans sa région négative ; les points de la deuxième sont à égale distance des deux droites prises à la fois dans leurs régions positives ou dans leurs régions négatives.

En choisissant le signe de telle sorte que les deux termes constants soient de même signe, on a (n®34) la bissectrice de l'angle dans lequel se trouve l'origine ; en prenant, au contraire, le signe de manière que les deux termes constants aient des signes différents, on obtient la bissectrice de l'angle supplémentaire .

Exercices.

i. Ramener les équations des bissectrices des angles formés par les deux droites de V énoncé du n^ 35 à la forme

X cos a -t- j^ sin a = />.

xcosj ^(a-f-P)-i-90<» H-^sin ^ (a H- p; -h 900 1= LlZl. ;

arcos - (a-T- p;-i-7Sin-(a-f- p) =^ '^ '^

1 cos - ( a — p j

2. Trouver les équations des bissectrices des angles formés par les droites

'ix-\-^y- 9 = 0, iix-*r5y — 3 = o.

Réponse, 7a? — 9^ 4- 34 = o, ^x -r- 7 j -^ 12. 36. Trousser V aire du triangle formé par les trois points

(-^M^O' (^2jj2J. (^S,rj).

Le double de Taire de ce triangle peut s'obtenir, en multipliant la longueur de la droite joignant les deux points \^\fy\) ^^ i^iyj^i) p8ir Is^ distance de cette droite au troisième point {xz,yz)' Cette distance, lorsque les axes sont rectangulaires, est égale (n*' 29, 34) à

(Vi — .ri)'^»— {^\~ ^i)y3 -ha^iVi — XiYi

et comme le dénominateur de cette fraction exprime la longueur de la ligiie joignant (^i, jKi) à (jCa, j^a)? le numérateur, ou, ce qui revient au même (n® 30), la quantité

représente le double de l'aire du triangle formé par les trois

points.

Nous trouverions, en répétant le même raisonnement et en S. — Geom. à deux dim. 4

:>i) CHAPITRE II.

employant les formules relatives aux axes obliques, que, dans le cas de deux axes faisant entre eux un angle co, il sufBt de multiplier l'expression précédente par sino) pour obtenir l'aire cherchée.

A la rigueur, nous devrions faire précéder cette expression du double signe, puisque nous l'obtenons en extrayant une racine carrée. Dans le cas où il n'y a qu'une seule aire à considérer, et où, par suite, il ne saurait être question que de grandeur absolue, c'est chose inutile. Mais il n'en est plus de même lorsqu'on a à comparer deux triangles dont les sommets {^3,^3), (^4,^4) ne se trouvent pas du même côté de la droite qui joint (xi^ j^O^ (^2? y 2) et sert de base commune aux deux triangles ; il faut alors donner des signes différents aux aires de ces triangles; la surface du quadrilatère formé par ces quatre points est la somme , et non la diflFérence , de ces deux triangles.

Corollaire I. — Le double de l'aire du triangle formé par les points (xt, y^). {x^^y^) et par l'origine s'obtient en faisant rcj = o, j^3 = o dans l'expression précédente ; elle a pour valeur y\X^ — y2^\'

Corollaire IL — Considérée au point de vue géométrique, la condition (n**30) pour que trois points soient en ligne droite exprime que l'aire du triangle formé par ces trois points est nulle.

37. Exprimer Vaire d^un polygone en fonction des coordonnées de ses sommets.

Joignons un point quelconque {x^y)^ pris dans l'intérieur du polygone à tous les sommets ( a: ,,^<), (^2)^2)7 (^sjJKa)?-- i la somme des aires des triangles ainsi formés sera évidemment égale à l'aire du polygone. En appliquant à ces triangles la formule du numéro précédent, on trouve successivement

DE LA LIGNE DROITE. 5l

pour le double de Taire de chacun d'eux

^{yt—yi) —y{^i — ^i) ■-^- ^ty^ — ^zy^ ,

^{yn-l— yn) — y {^n-l — ^n) -^ ^n-iyn — :r„y„,i ,

^(yn — yi) — y(^i^ — ^i) -^ ^nyi — ^iyn •

Ajoutant toutes ces valeurs, et observant que dans la somme obtenue les coefficients de j; et de ^ sont identiquement nuls (ainsi que cela doit être, puisque Taire du polygone est indépendante de la manière dont elle a été divisée en triangles), on trouve pour le double de l'aire du polygone

expression qui peut s'écrire ou bien encore

Exercices.

i. Trouver l'aire du triangle (a, i), (3, —a). ( — 4, — 0- Réponse. lo.

2. Trouver l'aire du triangle (a, 3), (4, — 5), (— 3, —6). Réponse. 29.

3. Trouver l'aire du quadrilatère (i, i), (2, 3), (3, 3), (4, i). Réponse, 4*

38. Trouver la condition pour que les trois droites A j? 4- B j -h C = o, K'x 4- Wy -^ C = o,

concourent en un mime point.

Pour exprimer que ces droites se coupent en un même point, il suilQt d'écrire que les coordonnées de l'intersection de deux d'entre elles satisfont à l'équation de la troisième.

Les coordonnées de l'intersection des deux premières sont