A'B''— B'A''\B''A — A'B BA' —AB' B'^G-BG'' / AG' — GA' A' G"— G' A

'BV

A^'B-B'A \BA' — AB' B'A'— A' Si l'on réduit, dans chacune des parenthèses, les deux

fractions qu'elles comprennent au même dénominateur, on obtient une série de fractions ayant pour numérateurs la quantité

A'CBC - B'C) -f- ACB'C''- B'^C) -+- A'(B*^C - C'B),

multipliée respectivement par A", A et A', et il vient pour le double de l'aire

[AÇB^C^— B'^C) + A^(B^C — BC^) -h A.'(BC'—B'C)Y (AB'— BA)(AB'' — B'A'')(A"B — B*A)

Lorsque les trois droites sont concourantes, cette expression s'annule (n® 38) ; quand deux des droites sont parallèles, elle devient infinie (n® 23).

40. Trouver l'équation d'une droite passant par l'intersection de deux droites données.

On peut résoudre cette question en substituant k œf el y^ dans l'équation y — y=m(x — x') du n® 28, les coordonnées de l'intersection des deux droites, déterminées d'après le n" 31. Mais on arrive plus facilement au résultat en s'appuyant sur le principe suivant, qui est d'une grande importance.

Les équations S = o, S'= o étant celles de deux lieux quelconques, le lieu représenté par l'équation S + /rS'= c [dans laquelle k est une constante) ^ passe par les points communs aux lieux S et S'.

Il est évident, en efiet, que tout couple de coordonnées qui satisfait à la fois aux équations S = o, S'=o satisfait aussi à l'équation S -f- A:S'= o.

Ainsi, en particulier, l'équation

(kx -h Bj -f- C) -+- k{k'x -h B'/ 4- C) = o, qui est du premier degré, représente une droite passant pai

l^intersection des deux droites

Aa? -f- Bj -+- C nz o, PJx H- B'j -t- C = o.

Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites satisfont, en effet, à Péquation

puisqu'elles annulent séparément chacun des deux termes dont elle se compose.

t. Trouver l'équation de la droite joignant à l'origine l'intersection des droites

Aa7 — Bx -+- G = o, k'x -H B> -+- G' = o.

Multipliant la première équation par G', la seconde par G, et soustrayant, on obtient Téquation cherchée

(AC — A'G ) ar -H ( BG' — GB' )>' = o.

La droite qu'elle représente passe en effet par Torigine (n» 18) et par l'intersection des deux droites (n» 40).

2. Trouver l'équation de la droite menée par l'intersection de ces deux mêmes droites parallèlement à l'axe des x.

Réponse. ( B A' — AB' )y -+- G A' — AG = o.

3. Trouver l'équation de la droite passant par le point d' intersection de ces deux mêmes droites et par le point {x\ y).

En déterminant dans l'équation générale donnée ci-dessus la constante k, de manière que cette équation soit vérifiée par x\ y, on trouve pour l'équation cherchée

(Aar^-B^'-h G) (AV-+.By-hG') = (A'ir-hB>-}-G')(Aa?'-hBy-4-G),

4. Trouver l'équation de la droite joignant le point (a, 3) à l'intersection des deux droites aa?-H3^-M=o, Zx — 4^ = 5.

Réponse,

II (2a7-f- 3^-t- i) -h i4 (3a? — 4/ — 5) = o, ou 64a: — 23^ = 59.