Le principe établi au numéro précédent donne, pour

reconnaître si trois droites se coupent en un même point, un critérium souvent plus commode dans la pratique que celui du n** 38 :

Trois droites kx ~\- Bjk -u C = o, A'x ~r- B'j^- -h C = o, A'x -f- B^y -f- C= o pcLssent par un même point, lorsque la somme des produits obtenus, en multipliant l'équation de chacune d'elles par un facteur constant, est identiquement nulle ; autrement dit , quand la relation suivante , dans laquelle /, m, n représentent trois constantes, est vraie, quels que soient x et j^',

l{Kx + B r -i- C) 4- m {k' x -f- B' j -f- C)

dans ce cas, en effet, les valeurs de x et de j^, qui annulent séparément les deux premiers termes de cette dernière équation, annulent nécessairement le troisième.

Exercices.

1. Le$ trois médianes d'un triangle se coupent en un même point.

Les équations de ceë médianes sont (29, Ex. 4)

(y -^-y" — '^y)x — (ar'-f- x" — IX )y

-h (x' y — y'x' ) -h {x' y — y'"ap')^= Oy

{y'-T-y — ^y") ^ — (x" -h x — -ix' )y

H- {x'y' — y'x') -+- {xy' — y^'} = o, iy-^y' — a^*')a7 — (x'-h x" — 2x')y

L*a somme de ces équations est identiquement nulle; les droites <|u'elles représentent se coupent donc en un seul point, dont les coordonnées

s'obtiennent en éliminant x ^X y entre les équations de deux quelconques des médianes.

2. Démontrer le même théorème en prenant pour axes les deux côtés du triangle qui ont pour longueurs a et b.

3. Les hauteurs d'un triangle se coupent en un même point. Il en est de même des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés.

La somme des équations de l'Exemple 5 (n^ 32) est identiquement nulle; il en est de même de la somme des équations de l'Exemple 6.

4. Les bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un même point.

Elles ont, en eiïet, pour équations

(arcosa-H^sina — p) — (jfcosP -i-^sinp — p') — o, (a?cosP-i-^sinp — p'} — (arcosY -i -^siny — p'^) —- o, (a? 008 Y -f-^ si n Y — p') — (arcosa-f-^sina — p) — o.

*42. Troiwer les coordonnées de V intersection de la droite Kx -^ Bjk -1- C = o avec la droite menée par les . points {ocf, y), {x\f).

On peut résoudre ce problème en partant des indications du n® 31 ; mais on arrive plus rapidement au résultat en prenant pour inconnue auxiliaire le rapport des segments que la droite Kx -^ ^y -}- C — - o détermine sur la droite joignant les points {x'^y)^ (^^^')- ^^^ coordonnées d'un point quelconque de cette dernière droite peuvent se mettre sous la forme (n^ 7)

mx'^ -h nx' my" -^ nV

rn -^ n ^ m -^ n

et, en écrivant qu'elles vérifient l'équation de la première droite, on obtient la relation

. mx^-^-nx' ^ mv" -\- nv' ^

qui donne, pour le rapport des segments,

n~~~ Ax"-^By^C

On en déduit successivement, pour les coordonnées cherchées,

(Xx'-+- By H- C) a:" — ( A^^H- Bj^-h C) a:' ^~ (Aor'H-'B/'-i-G) -(Ao^^H-Bj^-h-G) '

__ {PLœ'->^By-\-C)y"— {kx"-\- By 4- Oy ^■" (A^' 4- By -^ G) — (A^' -h By -f-C)

Cette méthode permet évidemment de déterminer le point où un lieu quelconque rencontre la droite joignant deux points donnés ; nous aurons souvent occasion de l'employer dans la suite.

Dans le cas actuel, on peut obtenir géométriquement le

rapport — des segments, en observant que ce rapport est égal à celui des distances

Aa;'H-B/4-G A^^'-hBy-hC, .,, -^ — , ,. f n*» 34),

V/A2-hB« v^A*H-B2

des points {x'^ y')^ {x^' ^ y") k la droite donnée

kx-\- B j-:- G=:o.

Le signe — qui se trouve dans l'expression de — obtenue

plus haut tient à ce que, dans le cas où la droite joignant les deux points est divisée intérieurement, cas auquel correspond le signe -f- pour le rapport — (n® 7), les points [x\ y),

(af'^ y) ne se trouvent pas du même côté de la droite A:r -I- B/.-f- C=: o, et que, par suite, les distances de ces points à cette droite doivent être prises avec des signes contraires (n* 34).

Lorsqu'une droite rencontre les côtés BC, GA, AB d^un triangle ABC (Jig. 20) aux points L, M, N, on a, entre

Fig. ao.

les segments qu'elle détermine sur ces côtés, la relation

BL . CM . AN LC . MA . INB ~ '•

En désignant les coordonnées des sommets du triangle par

i^'^y)^ {^"t y)-» {^'""i yO' ^^ ^" représentant par

Kx -^By -{-G=io

la droite LM, on a en effet

BL A^^^-t-By-f-C

LC" Kx'"-^\^y"->rC'

CM Ax^^^H-B,y^-hC MA~ Aa;'-hBy-+-C

AN__ kx' -^By' -^C, NB~" Kx" -^ h y' -^ C}

ce qui démontre le théorème.

*43. Trouver le rapport — suii^ant lequel la droite

menée par les deux points {x^^ j^O» (^a> y^) ^*^ divisée par la droite joignant les deux autres points (xz, yii)y

L'équation de cette dernière ligne étant (n® 29)

on a, d'après le numéro précédent,

iyi — .Yk) ^i — i^z — ^4) .r, -+- a?, r*

•^* .ra

ifl—Jk)^2 — (^» — -^4) Jt -H -^«74 — ^4 JS

On peut remarquer (n® 36) que ce rapport est égal à celui des surfaces des deux triangles ayant respectivement pour sommets {x,,y^), (^3, yx), (^4, yk) et (xj, y^), {x^, y^), (^4> J'4)î ce qui, d'ailleurs, est géométriquement évident.

Les droites menées d'un même point O aux trois sommets Â,\B et C d'un triangle (fig* 20) rencontrent les côtés opposés à ces sommets, BG, CA, AB en trois points D, E, F, tels que l'on a la relation