Trouver en coordonnées rectangulaires V équation du lieu

p = aaséc ( 6-T- ^ ]•

TiJ TîT

Réponse. x cos -r — y sm -^ ~ 2a.

2. Trouver les coordonnées polaires de l'intersection des deux droites

p cos f 6 j = aa, p cos f 0 — -^ j = a,

et r angle w qu'elles forment entre elles. Réponse. p = 2a, 9= —, <«)=-.

3. Trouver l'équation polaire de la droite passant par les deux points dont les coordonnées polaires sont (p', 6'), (p', 6').

Réponse, p'p' sin (6' — Ô') -f- p'p sin(e'— 6) 4- pp' 510(6 — 6') = o.

45. Dans le Chapitre précédent, nous avons exposé les prîn cipes qui permettent de définir algébriquement la position d'un point ou d'une droite quelconque; dans celui-ci, nous indiquerons, par des exemples, comment on peut appliquer ces principes à la solution des problèmes de Géométrie. Nous engageons le lecteur à étendre, de lui-même, le champ des applications jusqu'à ae qu'il se soit suflisamment familiarisé avec les procédés de la Géométrie analytique.

Les expressions algébriques, qui se rencontrent dans la solution des problèmes de géométrie, sont plus ou moins compliquées, suivant que les axes de coordonnées affectent telle ou telle position. En général, ces expressions se simplifient lorsqu'on pr^d pour axes deux des lignes les plus importantes de lavfigure; toutefois, il arrive assez souvent, qu'en donnant aux axes une position tout à fait indépendante de cette même figure, les formules gagnent en symétrie plus qu'elles ne perdent en simplicité. On peut comparer, à ce point de vue, les deux démonstrations que nous avons données (n** 41, Ex. l et 2) du même théorème. La première est la plus longue, mais elle présente cet avantage, que, l'équation de Tune des médianes du triangle étant déterminée, on peut écrire immédiatement, et sans faire de nouveaux calculs, les équations des autres médianes.

Il convient, en général, de faire usage de coordonnées rec-

tangulaires toutes les fois qu'il y a lieu de se préoccuper de la grandeur des angles; on évite ainsi les expressions compliquées qui résulteraient de remploi des coordonnées obliques.

46. Lieux géométriques, — La Géométrie analytique se prête avec une facilité toute particulière à la recherche des lieux géométriques. Tout se réduit en effet, dans cette recherche, à déterminer les conditions auxquelles les données de la question assujettissent les coordonnées du point donl on veut trouver le lieu : la traduction algébrique de ces conditions donne immédiatement Péquation du lieu cherché.

Exercices.

i. On donne la base AB, et la différence /n* des carrés des côtés AG et GB d'un triangle ABG; trouver le lieu décrit par le sommet G.

Prenons la base du triangle pour axe des x, et la pcrpendiculaîro i'ievée sur le milieu de cette base pour axe des y. Désignons par c ^fiS' ^^) Id moitié de la base, et par or, ^ les coordonnées du sommet.

Fig. 23.

Nous aurons alors

AG =j^«-f-(c -4- «)»(*), CB =^«-f-(c — a?)«,

ÂC'— BG*=4c:r,

(*) Cette expression se déduit de la formule générale du n« 4 en obser- Tant que c + ^ est la différence algébrique des abscisses des points A et C. Les commençants font souvent le raisonnement suivant : le segment AR se compose de deux parties, AM = — c et MR = a?, ce qui donne AR — — c->f-x, et non AR=:c + âp; on a donc ÂC' = ^* -h (a? — c)«. Ce raisonnement est

ce qui donne pour l'équation du lieu ^cx = m^. Cette équation

représente une perpendiculaire élevée à la base du triangle en un

point distant du milieu de cette base de la quantité a? = — • Il est

facile de voir que la différence des carrés des segments que ce point détermine sur la base est égale à la différence des carrés des côtés.

2. On donne la base AB et la quantité cotA -i- wcotB =/^ {Jiff. 22); trouver le lieu du sommet.

Il est évident, d'après la figure, que

AR c-hiF ^„ c — X

COtA = 7777 = y COtB = •

L'équation cherchée est donc

c-i-a7H-/n(c — X) =py»

Elle représente une ligne droite.

3. On donne la base AB et la somme m des deux autres côtés du triangle {fig, 22); on prolonge la hauteur RG au delà du sommet G, de telle sorte qu'elle devienne égale à un des côtés; trouver le lieu décrit par V extrémité de la hauteur ainsi prolongée.

Prenons les mêmes axes que dans l'Exemple 1, et cherchons la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées du point dont on demande le lieu. L'abscisse de ce point est évidemment MR, et son ordonnée est, par hypothèse, égale à AG ; on aura donc

BG =zm—y\

introduisant cette valeur dans la relation

BG"=ÂbVÂG^— 2AB.AR,

inexact : le signe attribué au segment compris entre *deux points d'une droite indique le sens dans lequel on doit le mesurer, et nullement la posi« tion qu'il occupe par rapport à l'origine. Pour mesurer AR, autrement dit, pour aller de A à R, il faut, en suivant la direction considérée comme positive, prendre d abord AM = c, puis MR = x, ce qui donne AR = c + 27. Pour mesurer RB, il faut, au contraire, prendre d'abord dans le sens négatif RM = — 07, puis dans le sens positif MB = c ; on a donc RB =t c — â?.

Pi OBLËMES SUR LA LIGNE DROITE. 65

on obtient pour Téquation du lieu ou, en réduisant,

c'est Téquation d'une ligne droite.

4. Deux droites fixes OA, OB sont coupées par une parallèle AB à une troisième droite fixe OC; trouver le lieu des points P qui divisent les droites AB dans un rapport donné, c'est-à-dire tel que PA — nAB.

Prenons OA et OC pour axes {fig* 23), et soit/ = mx Téquation de OB.

Le point B se trouvant sur cette droite, on aura

AB:^^ /n.OA,

et par suite

AP = m./i.OA.

Mais AP est Tordonnée y du point P, OA en est l'abscisse x\ le lieu du point P est donc une ligne droite passant par l'origine et ayant pour équation

y = mnx*

5. La droite PA, parallèle à OC, comme ci-dessus, rencontre un certain nomhre de droites fixes aux points B, B', B', . . . ; on prend V K proportionnel à la somme des ordonnées BA, B'A, . . . ; trouver le lieu des points P.

Les équations des droites fixes étant

y — mxj y = m'x -h n', y ~ m>'x -\- n' . . .^

celle du lieu sera

ky = mx -r- {m'x 4- n') -h {m'x -t- /i') 4- . . . .

6. On donne la somme m* des aires d'un certain nombre de triangles ayant un sommet commun; on donne, en outre y dans chaque triangle, la longueur et la direction du côté opposé à ce som^met; trouver le lieu décrit par ce sommet.

Soient a, 6, c les longueurs des côtés, et

X co%fi -{- y sinoL — p = o, j?cosp ^-^sinp — />'= o, . . .

leurs équations. La quantité (n<» 34) a?cosa-4-^sîna — p représentant la distance du sommet {x^y) à la première droite, a (a?cosa-f-)^sina — p) exprimera le double de Taire du premier triangle, etc. L'équation du lieu sera donc

a(:rcosa4-^sina — p) -r- h (a?cosP -f-^sinp — p') -h . . . = ^m^\

et comme elle ne contient a? et ^ qu'au premier degré, elle représente une ligne droite.