On donne l'angle 0 d'un triangle {fig. a4 ) et la somme s

des côtés OL et OK qui le comprennent; trouver le lieu du point P, où le côté opposé à cet angle est partagé dans un rapport donné.

Prenons pour axes les côtés qui comprennent l'angle ; menons les

m Pï

coordonnées du point P, et soit — = -^^ le rapport donné. La similitude des triangles LOK, LNP et PMN fournit les relations :

Le lieu cherché est donc la droite ayant pour équation

^. lyun point P on abaisse des perpendiculaires PM^ PN sur deux droites fixes OM^ ON se coupant sous V angle u ifig.^)\

Fi g* 25.

trouver le lieu des points P, tels que

OM -+- ON = const.

£d prenant les droites fixes pour axes, on a évidemment OM = X -h y coso), ON =y-hx cosco ; ce qoî donne pour Téquation du lien

x-^y = const.

9- Trousser le lieu des points P dans le cas oà MN est parallèle et une droite fijce.

Béponse. y-hxcos(ù = m(x-^yco9tù),

10. Trouver le lieu des points P dans le cas où MN est divisé en deux parties égales {ou dans un rapport donné) par la droite y = mx-\- n.

Les coordonnées du point milieu de la droite MN, exprimées en fonction des coordonnées â? et^ du point P, sont

-{x-hycostù)j -(^-f- a? COSO)),

et puisqu'elles satisfont à l'équation de la droite y =: mx -4- n, les coordonnées du point P vérifient l'équation

y -^x Costa = m (x -^ y costa) -h a».

il. Le point P glisse le long d'une droite y = mx -+• n ; trouver le lieu du point milieu de MN.

Si a et p sont les coordonnées du point P, x t\.y celles du point milieu, on a

aa? = a-H p coso), aj^ = p-+- acosco;

d'où

a sin> (0 = 20? — iy cos co, p sin* a> = %y — ix cos co,

et comme a et ^ vérifient la relation

P = /not-f- n,

il vient pour Téquation du lieu

ly — 2â?cos(D = m{ix — a^cosco)-!- /»sin*(i>.

47. On représente habituellement par x el y les coordonnées du point mobile dont on cherche le lieu, et par les mêmes lettres accentuées les coordonnées des points fixes. Mais il arrive souvent que, pour obtenir l'équation du lieu, on est obligé d'écrire les équations de certaines lignes liées à cette recherche ; de là une confusion possible entre les coordonnées courantes x ely àe ces lignes et les coordonnées x et y du point mobile. Il convient alors, pour éviter toute ambiguïté, de représenter par d'autres lettres, telles que a et g, les coordonnées de ce dernier point, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la relation qu'elles doivent vérifier. Une fois l'équation du lieu trouvée, rien n'empêche d'y remplacer a et g par X et y^ de manière à la ramener à la forme habituelle, où ic el y représentent les coordonnées courantes.

Exercices.

1. On donne la base CD d^un triangle PCD {Jig» 26), et le rap^ port k des segments AM et NB que les prolongements des côtés PC, PD déterminent sur une droite ^fixe AB parallèle à la base; trouver le lieu du sommet P.

Prenons pour axes la droite AB et la perpendiculaire menée à AB par le point A ; tout se réduit à exprimer AM, NB, en fonction des coordonnées a, p du point P. Soient x'y', x', y' les coordonnées de

O et de D. (Ces points ont même ordonnée, puisqu'ils sont sur une

Fig. a6.

parallèle CD à ÂB. ) L*équation de la droite PC, qui jomt les points (ot, P), {af,y\ peut s'écrire (n* 29)

(P -y') x-(0L- x')y = Par' - ay'.

Cette équation étant vérifiée par les coordonnées de tous les points de PC le sera par celles du point M qui sont ^ = o, a? = AM ; eu y faisant^ = o, on aura