AM
On trouverait de même
Et si AB = c, la relation ÂM = k. BN devient
On a exprimé ainsi les conditions du problème en fonction des coordonnées du point P ; toute confusion étant devenue impossible, on peut remplacer a et p par x ely, et, en chassant les dénominateurs, on trouve, pour l'équation du lieu,
yx' — xy' = k[c{y —y') — (yx' — xy')],
2. Deux -sommets du triangle ABC {Jig- 27) glissent sur deux droites fixes LM et LN, tandis que les trois côtés passent par trois points fixes O, P, Q, situés en ligne droite; trouver le lieu <iécrit par le troisième sommet G.
Prenons pour axe des x la droite DP sur laquelle se trouvent les
trois points fixes, et pour axe des y la ligne OL joignant au point O
Fig. 27.
rintersection des deux droites fixes. Désignons par a, p les coordonnées du point C, et soient
OL = b, OM = a, ON = a\ OP = c, OQ = c'.
Les équations de LM et LN sont évidemment
L'équation de CP, qui passe par (a, p) et P ou ( o, c). peut s'écrire
(a — c)y — pa7-f- Pc = o,
et Ton a pour les coordonnées de l'intersection A de CP avec LM
__ab(oL — c)-f-acp __ b(a-~c)^
^*~ 6(^3t— c)-hap ' ^^ "" b{x — c)-haf
Les coordonnées du point B s'obtiendront en accentuant les lettres a et c dans les équations précédentes, ce qui donne
a'b(oi — c')-^a'c'^ b(a' — c')'^
et les deux points (a?i,^i), (^i, ^j) se trouveront sur une droite passant par l'origine si l'on a (n<> 30)
Xi Xt'
c'est-à-dire
b(a-~c)? b(a'-~c')^ aO{OL~ c)-¥- acjf ^ a'6(a — c') -+- a'c'p
Nous avons ainsi déduit des conditions du problème une relation qui doit être vérifiée par les coordonnées a, p du point G; en y remplaçant a, p par x, y, noos aurons l'équation du lieu sous la forme ordinaire. Chassant les dénominateurs, on trouve
(a— c)ra'^(fl? -— c') -H a'ify] = (a' — €')[ab(x — c) -4- acjr]^
ce qui revient à
( ac' — a'c)x V
ce'. {a — a') — aa'ic — c') b équation d'une droite passant par le point L.
3. Les points P «r Q du problème précédent sont sur une droite passant, non plus par le point 0, mais par le point L; trouver le lieu du sommet G.
Nous examinerons d'abord le cas où les points P et Q ont une position quelconque. Prenons les droites fixes LM^ LN pour axes, et désignons respectivement par x\y'\ ^'j^''; ^"^y"] *> P» les coordonnées des points P, Q, O, C. La condition que nous avons à exprimer est que la droite AB, menée par les points A et B où les droites CP et GQ rencontrent les axes, passe par le point O.
L'équation de GP est
O -y )ar - (a -^ 4r')r == P^' - «J^'>
et le segment LA que cette droite détermine sur Taxe des x a pour valeur
LA
On trouverait de même, pour le segment LB, que GQ détermine sur Taxe des y
On a ainsi, pour l'équation de la droite AB,
LÂ'^LB'^' ^" ^x' — ay'^ ax' — ^y^'
D'après les conditions du problème, cette équation doit être vérifiée par les coordonnées x", y' du point O; il faut donc que les coordonnées a et ^ du point G satisfassent à la relation
Pa?' — ay* ny" — par' ""
L'équation que Ton obtient en chassant les dénominateurs renferme en général les coordonnées a et p au deuxième degré. Mais si l'on suppose que les points {x',y'), (^', ^') se trouvent sur une même
droite, y = mx passant par l'origine, on pourra, en observant que l'on a ^ — mx' y = mx", mettre la relation précédente sous la forme
chassant les dénominateurs, remplaçant a, ^ par ss^ y, on touve pour le lieu cherché une droite ayant pour équation
x'af{y — y') — y' x\x — x") = x' af{mx — y),
48. Il est souvent plus commode d'écrire les conditions du problème, en prenant comme intermédiaires quelques-unes des lignes de la figure^ que de les exprimer directement en fonction des coordonnées du point dont on cherche le lieu. Pour trouver l'équation de ce lieu, il n'y a plus alors qu'à éliminer les indéterminées que l'on a introduites, ce qui oblige à obtenir au préalable un nombre suffisant d'équations entre ces indéterminées et les coordonnées du point. Les exemples suivants indiquent plus explicitement la marche à suivre en pareil cas.
Exercices.
1. Trouver le lieu des centres O des rectangles FSKL (Jig*^^) inscrits dans un triangle ABC.
^ig. a8
Prenons la base A6 et la hauteur GR pour axes, et soient
GR=/?, BR^5, AR = 5'; les équations de AC et de BG pourront s'écrire
MeDons une parallèfe FS à la base, à une distance FK = A: de cette base; on trouvera les abscisses des points F et S, où cette parallèle rencontre AG et BG, en faisant y = k dans les équations de Â.G et de BG. On tire ainsi de la première
P ^ \ PJ
et de la seconde
k X T>T /^ ^^ — 1 — = 1, a? = RL = * ( I •
P s \ Pj
Des abscisses de F et S, on déduit facilement (n° 7) celle du milieu
de FS, X = ( I )> qui est évidemment l'abscisse du centre
-^ \ Pj
du rectangle; d'ailleurs l'ordonnée de ce centre est^= -k. Pour
trouver la relation qui subsiste entre cette abscisse et cette ordonnée, quel que soit k, il suffit d'éliminer k entre leurs expressions. En portant la valeur k = 2^, tirée de la seconde, dans la première, on obtient pour l'équation du lieu cherché
