OU ; ^- -^ = I

Cette équation représente la droite joignant le milieu de la hauteur au milieu de la base, ainsi qu'il est facile de le voir en examinant les segments qu'elle détermine sur les axes.

2. On mène une parallèle FS à la ba^e AB d'un triangle (fig' 28), et l'on joint par des droites FT et SV les points F et S, où cette parallèle rencontre les côtés GA et GB, à deux points fixes T, V de la base ; trouver le lieu de l'intersection de ces droites.

Prenons les mêmes axes et les mêmes notations que dans l'exemple précédent. Soient /n, o; n, o les coordonnées respectives des points fixes T et V de la base.

L'équation de FT sera

|yf I j-f-my-f-^â? — km = o,

et celle de SV

I si I )~~^ \y — kx-^kn=^o.

74 CHAPITRB III.

Le point dont on demande le lieu se trouvant sur les deux lignes FT et SV, chacune des équations précédentes exprime nne relation à laquelle doivent satisfaire ses coordonnées ; et comme ces équations renferment k^ elles ne sont vraies que pour le point particulier du lieu correspondant au cas où on a mené la parallèle FS à une distance k de la base. Si donc nous éliminons entrr ces équations Tindélerminée k, nous trouverons une relation ne renfermant que les coordonnées du point et des quantités connues, et qui, étant vérifiée, quelle que soit la position de la parallèle FS, sera l'équation du lieu.

Pour éliminer k, il suffît de diviser, membre à membre, les équations de FT et de SV, après les avoir mises sous la forme

($' ->t- m) y = k { - y — x-Jç-m )j

{^s — n)y = ki^-y -^ X — n\ On trouve ainsi, pour le lieu cherché, Féquation

qui représente une ligne droite, puisqu'elle ne contient x ely qu'au premier degré.

3. On mène une parallèle FS à la base AB d'un triangle {fig* 28), et Von joint par des transversales les points F et S, où cette parallèle coupe les côtés GA et GB, aux extrémités B e< A de la base; trouver le lieu du point d'intersection de ces transversales.

Ge problème n'est qu'un cas particulier du précédent; mais on

peut en trouver facilement une solution directe en prenant pour

xes les c6tés GA et GB du triangle. Soient a, b les longueurs de ces

côtés ; fia, [X 6 les segments proportionnels interceptés par la parallèle.

Les équations des transversales seront alors

a \Lb (ta b

Retranchant ces équations l'une de l'autre, et divisant le résultat

par II Jj on a, pour l'équation du lieu,

PROBLâMBg SUR LA LIGNE DROITE. 76

Cette équation, ainsi que nous l'avons vu (no41, EIx. 2), représente la médiane de la base du triangle.

4. On donne deux points fixes A et B, l'un sur VcLxe OK, l'autre sur l'axe OB; on prend sur ces axes les points A' et B', de telle sorte que Oh! -4- OB' = OA -i- OB; trouver le lieu de l'intersection des droites AB' et A'B.

Soient OA = a, OB — 6, OA' ■= a-^ k\ d après les conditions mêmes du problème, on a