Sur la hase AB d'un triangle ABC {fig- 29), et à chacune
de ses extrémités, on prend des segments AT, BS, dont le rapport est constant et égal à m, ; par les points T, S, on m,ène des parallèles T£, SF à une droite fixe RG; trouver le lieu de l'intersection 0 des droites EB et FA.
Prenons AB et GR pour axes, et soient AT = A:, BR = 5, AR = «', GR =p; on aura ainsi
BS = mk, RS = * — mk^ HT = ** — *;
76 CHAPITRE m.
ce qui donne, pour les équations des droites T£ et SF»
.X = — (s' — k)j x = s — mk^
et pour les coordonnées des intersections E et F de ces droites, avec les droites BG et AC,
, mpk
X = s — mk, y = - ^ »
Les équations des transversales E6, AF seront alors
, , , . mpk mpks'
(5 H- 5 — mk)y i— ■ X = o;
en les retranchant Tune de Tautre et en divisant par k le résultat obtenu, on trouve pour l'équation du lieu
Ce lieu est une ligne droite.
6. On mène aux deux côtés AB, AG d*un parallélogramme deux parallèles quelconques PP', QQ'* trouver le lieu de V intersection des droites PQ et P'Q'.
Prenons ces deux côtés pour axes, et soient a, b leurs longueurs {fig» 3o); soient en outre AQ' = m, AP = n. Les coordonnées des
points P, Q, P', Q' seront respectivement o, n;/n, 6; a, n;i7i, o; et Ton aura, pour les équations de PQ et de P'Q',
(6 — n) X — my-^m^n — o^ nx — (a — fn)y — mn = o.
Ges équations renferment deux indéterminées m et n, et Ton ne saurait a priori affirmer la possibilité de les éliminer. Toutefois, en
ajoutant ces deux équations, m et n disparaissent à la fois, et Ton trouve pour le lieu Téquation
bx — ay = o,
qui représente la diagonale du parallélogramme.
7. On donne un point et deux droites fixes; par le point, on mène deux droites quelconques, et Von joint transversalement les
points ovL elles coupent les droites fi^es ; trouver le lieu de l'intersection des transversales.
Prenons les droites fixes pour axes, et soient
les équations des droites menées par le point fixe {x^,y). Ces équations devant être vérifiées par les coordonnées du point fixe, on aura
et, par soustraction,
On aura de même, en partant des équations
qui représentent les transversales,
Éliminant ( ;)et( r) entre cette équation et celle
obtenue plus haut, il vient, pour l'équation du lieu,
xf y -^-y x^= o.
C'est celle d'une droite passant par Torigine.
8. Par un point de la base d'un triangle, on mène, parallèlement à une droite donnée, une droite de longueur fixe, de manière qu'elle soit divisée par la base dans un rapport
donné; trouver le lieu de V intersection deê transversales qui joignent ses extrémités à celles de la base,
49. Quelle que soit la condition géométrique à laquelle un point soit assujetti, cette condition peut toujours se traduire par une équation correspondante entre les coordonnées de ce point. C'est là l'idée fondamentale de la Géométrie analytique, et il importe de bien s'en pénétrer. Les commençants ne sauraient faire trop d'efforts pour arriver à écrire rapidement l'équation qui correspond à une condition géométrique déterminée. Aussi ajouterons-nous ici, comme exercices, quelques problèmes concernant les lieux géométriques, et conduisant à des équations d'un degré supérieur au premier. L'interprétation de ces équations fera l'objet d'autres Chapitres; mais la métbode à employer, la seule chose que nous ayons actuellement en vue, est exactement la même que celle dont on fait usage lorsque le lieu est une ligne droite. Au surplus, le degré de l'équation qui donne la solution d'un problème reste, en général, inconnu jusqu'au moment où l'on arrive à cette solution.
Les Exercices suivants ont été choisis de manière que l'on puisse en calquer la solution sur celle des problèmes qui viennent d'être exposés. Us sont disposés suivant le même ordre, et, dans tous ceux qui se correspondent, on a conservé les mêmes axes et les mêmes notations.
Exercices.
1. On donne la base d'un triangle et la somme des carrés des deux autres côtés; trouver le lieu du sommet.
Réponse. x*-hy* = - m^ — c'.
2. On donne la base, et m /ois le carré d'un côtézh n fois le carré de Vautre.
Réponse, {m zh n) (x^-i-y^) -h a (m q= n) ca: -f- (m ± /i) c* =/?«.
