On donne la base et le rapport des côtés

4. On donne la base et le produit des tangentes des angles à la bcue. Pour la solution de ce problème et des quatre suivants, on exprimera les tangentes des angles à la base, comme il a été dit au ii« 46 (Ex. 2).

Réponse. y^ -h m^rr* = m^c'^.

5. On donne la base et V angle au sommet, ou, en d'autres termes, la somme des angles à la base.

Réponse. x^-\-y^ — %xy cot G = c- .

6. On donne la base et la différence D des angles à la base. Réponse, a?' — /' -+- ^^ cotD = c*.

7. On donne la base : un des angles à la base est double de Vautre.

Réponse. Sa?* — ^' H- aca? = c*.

8. On donne la base et tangC =: m tangB. Réponse. m(x^-^y^ — c^) — ^c(c — x).

9. La droite PA, parallèle à OC (no46, Ex. 4), rencontre deux

droites fixes en BetB'; onprendPA = PB. PB' ; trouver le lieu du point P.

Réponse. mx^m'x-h n') =y(mx-\' m'x-^ n).

10. Onprend pourFA la moyenne harmonique entre AB et AB'. Réponse, a mx ( m'x -+- n' ) =^y{ mx -f- m'x -j- /i' ).

il. On donne l'angle co au sommet d'un triangle; trouver le lieu du point F où la base est divisée dans un rapport donné m : n, lorsque l'aire du triangle est constante.

Réponse. xy = const.

12. Trouver le lieu du point P lorsque la base b est constante.

a?' y'^ aa^cosw '^*

P ' m> n* mn "~ (m-Hn/

8o CHAPITRE III.

13. Trouver le lieu du point P lorsque la base passe par un point fixe {a/, y).

Tft3^ nv'

Réponse, 1 — ^ = m -+- n.

14. Trouver le lieu du point P (n® 46, Ex. 8) lorsque MN est constant.

Réponse. a?* H-^* -h aay cosu) = const.

15. Trouver le lieu de ce même point P lorsque MN passe par un point fi^e {i',y).

af y' Réponse. 1 = = i .

16. Trouver le lieu de l'intersection des parallèles menées aua^ axes par les points M ef N lorsque MN passe par un point

fixe (a?',/).

Réponse. h — = i.

17. Trouver le lieu du point P (n^ 47, Ex. 1 ), dans le cas où CD n'est pas parallèle à AB.

18. On donne la base CD d'un triangle PCD, et le segment AB que ses côtés PC, PD déterminent sur une droite donnée; trouver le lieu du sommet P.

Réponse.

(a// —fx) (y —y) — {afy - -y'x) (y —f) -~c(y —f) (y —f)^

50. Problèmes oà il faut démontrer qu! une droite mobile passe par un point fixe .

Nous avons vu (n® 40) que la droite représentée par Féqualion

A^ -f- Bj -^ C + k{K'x -+- Wy h- C) — o,

dans laquelle k est une indéterminée, ou, ce qui revient au même, par la suivante :

{kx -+- kK*) X -^ (B ^ kW) y -\- C ^ kG = 0,

PROBLéUES SUR LA LIGNE DROITE. 8l

passe par un point fixe, qui est Tintersection des droites kx-hBy hC = o, A'x -+- Wy -t- C = o.

Donc, toute droite, dont l'équation contient une indéterminée au premier degré, passe par un point fixe.

Exercices.

i. On donne, dans un triangle, un des angles et la somme

— des inverses des côtés qui le comprennent; prouver que le côté

opposé à Vangle donné passe par un point fixe.

Prenons pour axes les côtés qui comprennent Tangle ; l'équation du côté opposé sera, en désignant par a et 6 la longueur des autres côtés ,

a b et comme on a, par hypothèse,