III III

a O m orna

réquation ci-dessus se réduit à

ou bien encore à

Elle renferme Tindéterminée -; la droite qu*elle représente passe

donc toujours par un point fixe, qui est Tintersection des deux

droites

2. Les trois sommets d'un triangle ABC glissent sur trois droites fixes OA, OB, OG^ issues d'un même point O ; deux de ses côtés XG, CB passent par deux points fixes {x',y'), {x'^y") ; démontrer que le troisième côté AB passe aussi par un point fixe.

S. — Géom. à deux dim, 6

Si CHAPITRE III.

Prenons pour axes les droites OA et OB (./?^. 3i), sur lesquelles Pflîssent les sommets A et B ; Inéquation de OG sera

y — mx.

Soit a l'abscisse du sommet G dans une position quelconque, Tor-

donnée correspondante sera ma. L'équation de A G sera alors

(a/ — a)y — (y — ma)x-h a (y — /iw/) = o, celle de BG sera de même

(a^ — a) y — (y — ma)X'^ et (y — maf) = o.

Si Ton fait a; = o dans Téquation de AC, on trouve, pour la longueur de OA,

On obtient de même pour la longueur de OB, en faisant y ~ q dans Téquation de BG,

y — ma L'équation de AB est donc

r* — m,a af — a

y — mjof '^ y — m^d

Puisque a est une indéterminée et n'entre qu'au premier degré dans cette équation, la droite AB passe toujours par un point îni<t. En mettant l'équation sous la forme

y' x' [ mx y \

y — 77107* y — ma/ "^ \ ^ — m^ y — mjxi'

on voit que le point fixe se trouve à l'intersection des deux droites y af mx y

3. La droite sur laquelle glisse le sommet G de VExemple n* 2 ne passe plus par le point 0 ; à quelle condition doivent satisfaire les autres données du problème pour que le côté KB passe toujours par un point fixe.

Conservons les mêmes axes et les mêmes notations que cidessus : Téquation de la droite sur laquelle glisse le sommet G sera y = mx + /i, et les coordonnées du point G dans Tune quelconque de ses positions seront a, ma + n. L'équation de AG sera

{x^ — a) y — {y — ma — n)x-\- a{y — maf ) — na^ = o,

et celle de BG

{a^ — a)y — (^ — ma — n)x -^^ a{y — maf) — nxf =so;j

d'où

Qj^^ a{y^maf) — naf ^^ ^ a{y — mxr) — naf

x' — a ' y — ma — n

L'équation de AB est donc

y — ma — n x' — a

a{y — m^) — nx^ ^ a{y — ma') — nx' "^

En chassant les dénominateurs, on obtient une équation ài\^^ laquelle a entre au second degré : le côté AB ne passera donc pas, en général, par un point fixe. Mais si les points (a/, y'), {x^,y) sont sur une droite {y = kx) passant par le point 0, on peut remplacer, dans les dénominateurs, y par kx\ et y par kx^ ; l'équation devient alors

y' — ma — n cd — a , ,

et ne renferme plus l'indéterminée a qu'au premier degré : dans ce cas particulier, le côté AB passe donc par un point fixe.

4. Toute droite, déterminée par la condition que la somme de ses distances à un certain nombre de points fixes {x^,y) x*, ^), multipliées respectis?ement par les constantes m', m', . . . , soit nulle, passe par un point fixe*

Soit â?cosa+^sina — p =: o l'équation de la droite dans l'une de ses positions; la distance du point {xl^y) à cette droite aura pour valeur

af cos a -^y sin a — /?,

et l'équation suivante exprimera les conditions du problème :

m'(a?'cosa-+-y sina — p) -<- m'(a:' cosa-t-/^sina— /?) -H . . . = o.

En posant, pour abréger ( ^ ),

2 ( mx') = m'af -f- m'af + m*J7* -l- . . . , S ( ''*^) = ^y -+- '^'^ H- wi'a?" -4- . . . ,

on peut mettre cette équation sous la forme

S (/?w?')cosa-t- 2(mj^) sina — pZ(m) = o;

et si l'on porte la valeur de p^ qu'on en déduit, dans l'équation primitive de la droite mobile, on trouve

xl,(m) cosa-j-/2(/7i)sina — T,{ma/) cosa — S(m^')sina = o,

ou bien

xl^{m) — E(ma7')-4- [y2(/n) — 2(/ny)] tanga = o.

Cette équation renferme l'indéterminée tanga au premier degré; la droite qu'elle représente passe donc par un point fixe, qui est l'intersection des droites

xJ:{m) — l,{ma/) = o, yS(/n) — S(/n.y) = o, et qui, par suite, a pour coordonnées

m'af-\- m'af-^ m'x' -h . . . mV-f- m'y'-^' m'Y*-^ • - -

Ce point s'appelle quelquefois centre des distances proportionnelles.

Sl« La, droite représentée par l'équation (Aa/-i- B/-i- G)ar H- (AVh- B'/-^- G')7 -i- A'ip'-^ By-4- C^= o, ou, par toute autre équation analogue renfermant les coor-

(*) Les sommes indiquées par les abréviations It{m),'L[mx'), £(m^') sont des sommes algébriques; car plusieurs des quantités m', m",... peuvent être négatives.

PROBLàMES SUR LA LIGNE DROITS. 85

données d'un point {xl^y*) au premier degré, pivote autour d'un point fixe, lorsque le point {x!^y) glisse le long d'une . ligne droite. Quand cette dernière condition est remplie, les coordonnées de ce point satisfont en effet à une équation de la forme

La:' -H My 4- N = o,

et en éliminant x* entre celte équation et la précédente, on retombe sur une équation qui ne renferme plus qu'une indéterminée y ^ au premier degré, et qui par suite représente une droite passant par un point fixe (n® 50).

Plus généralement y lorsque les coefficients de V équation Ax 4- By + C = o vérifient la relation a A -f-6BH-cC = o, dans laquelle a, b et c sont des constantes, et A, B e^ C des variables^ la droite qu'elle représente passe par un point fixe,

La relation donnée nous permet, en effet, d'éliminer C el de mettre l'équation de la droite sous la forme

{ex — a)A-\- {cy — ô)B :=o, qui montre bien qu'elle représente une droite passant constamment par le point (x=z -y y=z -y

52. Coordonnées polaires. — On emploie généralement les coordonnées polaires toutes les fois qu'il s'agit de trouver le lieu des extrémités des droites menées par un point fixe suivant une loi déterminée.

Ezercicet.

i. A et B sont detuc points fixes; par le point B on mène une droite quelconque BP, sur laquelle on abaisse une perpendicuglaire AP du point A; on prolonge AP jusqu*en Q, de telle sorte' que le rectangle AP.AQ soit constant et égal à A:*; trouver le lieu du point Q

Prenons AB pour axe fixe {fig. 3a), et A pour pôle ; AQ

Fig. 3a.

=- psera

le rayon vecteur, et QAB = 0 l'angle que ce rayon vecteur fait avec Taxe fixe.

Le triangle rectangle APB donne, en désignant par c la distance constante A^B, AP = ccosO; et comme, d'après les conditions du problème, AP. AQ = A", on a, pour l'équation du lieu,

A:* pccos6 = A:» ou pcos6=— ;

cette équation représente une droite perpendiculaire à AB, passant

A:' à une distance — du point A (n® 44).

2. On donne les angles a, p, y d'un triangle ABC ; le sommet A est ^e, tandis que le som^met B glisse le long d'une droite BP ; trouver le lieu du troisième som^met G.

Prenons pour pôle le sommet fixe A (/ig. 33), et pour axe la per-

Fig. 33.

pendiculaire AP à la droite ûxe BP ; on a alors

AG = p, CAP = e et BAP = 6 — a.

Les angles du triangle étant donnés, le rapport m de AB à AG est constant; le triangle BAP donne

AP = AB cos^AP = m. AG cosBAP ;

ot si Ton fait AP = a, on a, pour l'équation du lieu,

mp cos(ô — a) = a; c*est une ligne droite (n<>44), faisant un angle a avec la droite

donnée, et passant à une distance — du point A.

l\ On donne la base AB = c d'un triangle ABC, et la somme AC -t- CB = m des deux autres côtés; à l'extrémité B de la base, on élève la perpendiculaire BP au côté adjacent BG ; trouver le lieu du point P oà cette perpendiculaire rencontre la bissectrice extérieure GP de Vangle AGB.

Prenons pour pôle le point B (^fig* 34), et pour axe le prolongc-

Fig. 34.

ment BD de la base ; on aura BP = p, PBD = 6. Désignons en outre par ajb,c les côtés du triangle opposés aux. angles A,B,G. L'angle

G PB est égal à - G, et Ton a, en observant que BG = a,

a = p tang~G.

Le triangle ABG fournit d'ailleurs le relation

6* = a* -f- c* — ^ac cos B,

qui, en raison des conditions du problème,

b = m — a, cosB = sinO, se réduit à

m* — 2am + a' = a* -i- c* — aac sin 0 ;

et donne

Nous avons ainsi deux expressions de a : Tune en fonction de Ô et des constantes du problème; l'autre en fonction de p et de tang-G ;

il suffit donc d'exprimer tang-G en fonction de 6 et des constantes

du problème pour éliminer a et trouver Téquation du lieu. On a

identiquement

I ^ 6 sin G

tang- G = -J-. T7T >

^2 6 ( I -f- cos G )

et comme

6sinG = csinB = ccosô, 6 cos G = a — ccosB = a — csinO,

il vient

I ^ c cos 8 tang- G ^. 7-K '

2 m — c SIDO

L'équation du lieu peut donc s'écrire :

777* — c* pc.cosft

2(^//i ' csin6) ~" m — csintJ ou

p cosO

Elle représente une droite perpendiculaire à la base du triangle et

passant à une distance — du point B.

On trouverait, en suivant la même marche, le lieu du point P, dans le cas oh GP serait la bissectrice intérieure, et où l'on donnerait la différence au lieu de la somme des côtés.

4. On donne n droites fixes et un point fixe O ; par ce point, on mène un rayon vecteur qui coupe les droites en ri, rj, rj,. . ., /•„, et Von prend sur ce rayon vecteur un point R, tel que

OR Ori ' Orj Or^'"^ Orn' trouver le lieu dupoint R.

Les équations des droites étant mises sous la forme

pcos(6 — a) =pu pcos(6 — P) =/?2,- -o on obtient immédiatement l'équation du lieu

fi cos(6 — a) cosf6— p) P Pi Pi

Getle équation représente une ligne droite (n» 44). Ce théorème n'ost

PROBLâHES SUR LA LIGNE DROITE. 89

qu'un cas particulier d'un théorème plus général que nous démontrerons par la suite.

Nous ajouterons ici, comme au n^* 49, un petit nombre de problèmes conduisant à des équations de degré plus élevé.

5. Soit BP une droite fixe {fig» 32) ayant pour équation pcosd = 77i; sur chaque rayon vecteur AQ, on prend une Ion-gueur constante PQ = d] trouver le lieu des points Q.

Par hypothèse, AP = ^' donc AQ = p = ^ -h d,

'^'^ COSD ^ cos8

Cette équation, rapportée à des cordonnées rectangulaires, devient

{x— my{x^-^y*) = d^x^^

6. Trouver le lieu des points Q, lorsque le point P décrit, non plus une droite BP, mais un lieu ayant pour équation en coordonnées polaires p = (p(6).

La longueur AP est égale au rayon vecteur p du lieu cherché, diminué de d; Téquation s'obtiendra donc en remplaçant, dans celle du lieu du point P, p par p — d; on trouve ainsi

7. Le point P décrit le lieu p = (p(6); on prolonge AP jusqu'en AQ , de manière que AQ = aAP ; trouver le lieu du point Q.

Il suffit de remplacer, dans Téquation du lieu de P, p par - p pour

avoir l'équation cherchée.

B. On mène la bissectrice AP' de l'angle PAB, et^ sur cette

bissectrice, on prend un point P', tel que AP' = m. AP; trouver le lieu du point P', lorsque P décrit la droite p cosO = m. L'angle PAB étant égal au double de la coordonnée angulaire 0

du lieu, on a AP = jr> et, par suite, pour l'équation du lieu,

COS26 ' '^ » r ^

p*cos2 6 = m*.