MÉTHODE DBS NOTATIONS ABRÉGÉES. 9I

de l'équation a — A: p = o. La quantité a, ou ce qui revient au même, j:cosa4-^sina — p mesure (n** 34) la distance PA (yî^. 35) du point (a?,^) à la droite OA, que nous supposons

Fig. 35.

représentée par a ; de même ^ me^^ure la distance PB du point (a:, /) à la droite OB, ou p. L'équation

exprime donc que si, d'un point du lieu qu'elle représente, on abaisse des perpendiculaires PA, PB sur les droites OA, OB, le rapport de ces perpendiculaires PA : PB est constant et égal à k. Ce lieu est évidemment une ligne droite passant par le point O, et l'on a

PAsinPOA PB~sinPOB*

En se reportant aux conventions faites sur les signes (n® 34), on voit que a + A" g = o représente une droite divisant extérieurement l'angle AOB en deux parties telles^ que

. r>rvp =-'• ^- n est d'ailleurs bien entendu, dans ce que nous smPOB ' ^

venons de dire, que les perpendiculaires PA et PB sont celles

que nous sommes convenu de regarder comme positives ; celles

qui se trouvent dans les régions situées de l'autre côté de a

ou de p étant considérées comme négatives.

Exercices.

1. Démontrer, en employant ces notations, que les trois bissectriées des angles d'un triangle se coupent en un même point.

Les équations des trois bissectrices du triangle formé par les

droites a, p et y sont évidemment (n»» 35, 54)

a— p = o, p — Y = o, Y — a = o, et leur somme est identiquement nulle (n<»41).

2. Les bissectrices extérieures de deux des angles d*un triangle se rencontrent sur la bissectrice intérieure du troisième angle.

En se reportant à la convention relative aux signes, on voit que a-r-P = o, a-f-Y = o sont les équations des bissectrices extérieures ; si on les retranche l'une de l'autre, on trouve p — Y == ^> équation de la bissectrice intérieure du troisième angle.

3. Les trois hauteurs d*un triangle se coupent en un même point»

Désignons respectivement par A, B, G les angles opposés aux côtés a, p, Y- L& liauteur passant par le sommet G divise l'angle G en deux autres, qui sont respectivement complémentaires des angles B et A; son équation sera donc (n<>54)

a cos A — p cos B = o.

On trouverait de même pour les autres hauteurs :

PcosB — *^cosC = o, Y cos G — acosA = o.

Ges trois droites se coupent évidemment en un même point.

4. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un mêm.e point.

Le rapport des distances du milieu du côté y aux deux autres côtés a et p est sin A : sinB. Les équations des médianes seront donc

asinA — psinB — o, psinB — YsinG = o, Y sin G — asinA = o.

Leur somme est identiquement nulle.

5. Les longueurs des côtés a, p, y» ^ d'un quadrilatère étant a, 6, c, d, former l'équation de la droite qui joint les milieux des diagonales,

Gclte équation est

aa — ôp-4-cY — <2?S = o;

en effet, la droite qu'elle représente passe par l'intersection des droites aa — 6petcY — d^, qui, d'après l'Exercice précédent, sont

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les médianes de la base commune aux deux triangles formés par une diagonale dans le quadrilatère; elle passe aussi par Tintersection des droites aa — d^etc^ — 6^, qui se coupent au milieu de l'autre diagonale.

6. Trouver l'équation de la perpendiculaire élevée sur la base p d'un triangle et à son extrémité G.

Réponse. * a -f- y ^<^^ ^ = ^-

7. Lorsque deux triangles sont tels, que les perpendiculaires abaissées des sommets du premier sur les côtés du second se coupent en un même point; réciproquement, les perpendiculaires abaissées des sommets du second sur les côtés du premier se coupent en un même point.

Soient a, p, y» «'» P'> ï' l^s côtés des triangles; désignons par (xp) l'angle compris entre a et P; nous aurons respectivement, pour les équations des perpendiculaires abaissées de («, P) sur yS de (P, Y) sur «', de (a, y) sur P',

acos(pY') — Pcos(aY') = o, P cos(Ya') — Y cos( pa') = o, Ycos(ap') — œcosCyP') = o.

Pour exprimer que ces trois droites se coupent en un même point, il suffît d'écrire que le résultat obtenu en éliminant p entre les deux premières équations est identique à la troisième. On a ainsi

cos ( ap' ) cos ( Py' ) cos ( Y«' ) = c^s ( o'P ) cos ( P'y ) cos ( y'œ).

La symétrie de cette équation montre qu'elle exprime également la condition pour que les perpendiculaires abaissées des sommets du second triangle sur les c6tés opposés du premier se rencontrent en un même point.

55. La droite a — k^ = o fait évidemment, avec la ligne a, le même angle que la droite ka — ^ = o avecjS; les deux droites a — X:P et ka! — P sont donc également inclinées sur la bissectrice a — P = o.

Exercice.

Par les sommets d'un triangle, on mène trois droites se coupant en un même point, et trois droites faisant, avec les bissectrices des

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angles du triangle, les mêmes angles que les premières; les trois dernières droites se coupent aussi en un même point.

Les côtés du triangle étant a, p, ^f ^^^ ^''^'^ premières droites ont pour équations

la — m^ =: Of mp — ny = o, ny — /a = o;

puisqu'elles se coupent en un même point ( n^ 4Q) et passent respectivement par les points (a, P), (P, f), (y» «)• D'après ce que nous avons dit plus haut, les trois autres droites auront pour équations