METHODE DES NOTATIONS ABREGEES

a — /p3 =^ o, . . . , OÙ p désigne le rapport des quantités par lesquelles on doit diviser respectivement P et P pour les ramener aux formes a et g. Et comme la valeur du rapport anharmonique ne change pas lorsqu'on y remplace A:, /, m et n par Arp, /p, mp et /ip, il s'ensuit que le rapport anharmonique des quatre droites P — itF, P — /F, P — mP\ P — nF s'exprime à Paide des coefficients k, l, m et n de la même manière que celui des droites a — Arg, a — /p, . . . .

Lorsque deux systèmes de droites, partant chacun d'un point différent, sont définis par les équations

P — kP', P — /P', ..., Q-kQ', Q-/Q', ...,

on donne le nom de droites correspondantes aux droites telles que P — A^P', Q — /cQ', et, comme le rapport anharmonique de quatre droites ne dépend que des coefficients A-, /, m, n de leurs équations, on a le théorème suivant :

Le rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier système est égal à celui des quatre droites correspondantes du second.

Ces systèmes, que nous aurons souvent occasion de considérer par la suite, s'appellent systèmes homo graphiques.

60. Les trois droites a, p, -^formant un triangle (*), on peut toujours ramener l'équation d'une droite ax -\- by -{-0 = 0 à la forme

/a H- m p -H /l Y rz: o.

(») Nous disons : formant un triangle, car si les lignes a, p, y passent par un même point, /a-^-mp-h/iY représente une droite passant par ce même point, les valeurs des coordonnées qui annulent séparément a, p, y annulant aussi /a -+- mp -4- n y.

S. — Geom. à deux dim, 7

L^ëquation /«-- mp -|- 717=: o devieni , en y remplaçant a, P et Y par les expressions équivalentes en a: et ^

(/cosot -7- m cosp -!- neosy) x

-\- ( /sina-f- /nsinp 4- /isiny) j — {Ip -+- mp' h- np'') =:o\

pour qu'elle soit identique à l'équation donnée, il faut que Ton ait

/cosa -i- m cosp -1- /i 005^=1 a, / sin a -h m sin p h- /isiny 1= ô,

Ip -f- m/?' -i- n/?^' nr - c ;

et il est évidemment toujours possible de déterminer l, metn, de manière à satisfaire à ces conditions.

Les Exercices suivants ne sont qu'une application du principe que nous venons de démontrer.

Exercices.

1. Démontrer analytiquement les propriétés du quadrilatère complet.

Soient

a - o, p — o, Y ~ ^> '* — /np = o, wp — /lY = o

les équations des droites