METHODE DES NOTATIONS ABREGEES

puisque cette dr ci te passe par ri ntersectionD des deux droites /a — ni^ et Y, et par rinters^ction G de m^ — /ly et a. De même la — n-y = o est réquation de OE, puisque OE passe par E ou (a» Y)' ^^ P^'' ^ ^^

i/a— mP, m^ -^ n^).

La droite EF joint le point E ( a, ^ ) au point F(/a — /np-h/iy, 7); son équation sera donc

/a-f- nY ='o.

Les quatre lignes EA, EO, EB, EF forment un faisceau barmr>-

nique (n^ 57), puisqu'elles ont pour équations

a = o, Y — r, ladz n-^ = o,

La droite FO joint le point F, (/a-î- ny^ p), au point O

{la — mp, m^ — '^ï)»

son équation est donc

loL — am^ -T- AY "- o.

Les quatre lignes FE, FG, FO et FA forment aussi un faisceau

harmonique (n^ 57), puisqu'elles sont représentées par

la — m^--n^ — Of P = o, la — m^ -h n-^ ±: m^ = o.

Les quatre droites OG, OE, OD, OF constituent aussi un faisceau harmonique, puisqu'elles ont pour équations

/a — mp = o, /np — 71^ = 0, la— m^i : ( m^ — /iY) = o.

2. Discuter les propriétés du système de droites formé en menant, par les sommets d'un triangle ABC, trois droites AD; BE, CF, qui se coupent en un même point O,

Soient a, p, f les côtés BC, AG et AB du triangle (Jig. 3^).

Fig. 39.

mp— n^j n^ — la, la — /np les droites AO, BO, GO {voir n« 55). Les équations des lignes EF, DF, DE qui joignent deux à deux les

rOO CHAPITRE IV.

points eu les droites issues des sommets viennent rencontrer les côtés s'obtiennent facilement. Ainsi EF, qui passtf par les points £. ou (P, ny — /a), et F, ou (y,mp — /et), a pour équation

mp -h /l'y — /« = o.

On trouverait de même, pour l'équation de DF,

la — mp -h /ly = o, et pour celle de DE,

/a-h mp — ny = o.

Les points L, M, N, où les droites EF, DF, DE rencontrent les côtés GBy AG, AB du triangle qui leur sont respectivement opposés, sont sur une droite qui a pour équation

Za-h mpH- nf = o;

cette ligne passe, en effet, par les points N ou (/a-4- /np — '*Y' T*' M ou (/a — Tnp -i- fiy, p), L ou (mp -î- ny ~ ^a, «)•

L'équation /a-h /n p == o, qui représente une droite passant par le point (a, p) ou G, représente en même temps une droite passant par le point N, puisqu'on peut la mettre sous la forme

(la-h m^ — n^) -h Jif = o;

c'est donc l'équation de la droite GN.

Le côté BN du triangle est divisé harmoniquement par les droites GN, GA, GF, GB, puisqu'elles ont pour équations

a = o, P = o, la — mp = o, /a-T-/np = o.

On rencontre assez souvent des cas où l'on peut se servir des équations précédentes. Ainsi (n^ 54, Ex. 3), l'équation de la droite joignant les pieds de deux des hauteurs est a cosA ■+- p cosB — y cosC == o ; et la droite acosA -4- pcosB -f- ycosG = o passe par les points d'intersection des lignes joignant les pieds des hauteurs, avec les côtés opposés du triangle. De même (n^ 54, Ex. 4), la droite a sin A H- P sinB — y sinG est celle qui joint les milieux de deux des côtés du triangle, etc.

3. On dit que deux triangles sont homologiques lorsque leurs côtés correspondants se coupent deux à deux sur une même droite qui est l'axe d'homologie; prouver que les trois droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles homologiques se coupent en même point.