METHODE DES NOTATIONS ABHEGBES. ICI

Soient a, p, ^ ^^^ c6tés du premier triangle, /a + mp + ny Taxe d'homologie ; réquation au côté du deuxième triangle passant par riotersection de a avec cet axe sera de la forme ra-+-/np-4-/iY = o, et Ton aura de même, pour les deux autres côtés,

Les lîgaes qui joignent les sommets correspondants auront ainsi poar équations

et il est évident qu'elles passent par un même point. Ce point s'appelle le centre déontologie.

61. Trouver la condition pour que les deux droites /a -h mp -+- /lY , ^a -}- m'^ -h n^^ soient perpendiculaires entre elles.

En remplaçant, comme au n" 60, a, P et y par les expressions équivalentes en x et j^, et en ayant égard à la relation (A A' -H BB' = o), obtenue au n* 25, Corollaire II, on trouve, pour la condition cherchée,

W -If mm' -h nn' -+- {mn' -f- /n'/i)cos(p — y)

{ni' -h n'I) cos{y — a) -h {Im' -h'/'m) cos(a — p)=i:o;

d^ailleurs, P et y étant les angles que font, avec l'axe des a:, les perpendiculaires abaissées sur les droites ^ el y, ^ — y représente Fangle compris entre ces perpendiculaires, et par suite est égal à l'angle compris entre les deux droites ellesmêmes ou à son supplément. Lorsque l'origine se trouve à l'intérieur du triangle formé par les droites a, P, Yj et que A, B, C représentent les angles de ce triangle, l'angle ^ — y est le supplément de A, et la condition pour que les droites soient perpendiculaires peut s'écrire

W -h mm' -f- nn' — (mn' •+• m'n) cosA

— (/i/'4-/i7)cosB - (/m' -h /'m)cosCi=o.

Ainsi la droite /a-r m^ -|- ny est perpendiculaire à v, quand on a

rt-- wcosA -h /cosB.

En partant de la formule du n^ 34, on trouverait de même que la distance du point (x'^y^) à la droite Iol-\- m^^ n^ est donnée par l'expression

W -Jr m^' -f- ny'

y/ /* -i- m* -f- /i* — 2 mn ces A — 2 ni cosB — 2 Im cosG où l'on a fait, conformément au système d'abréviations adopté,

a zz:z ^'cosa -;-^sina — /?,....

Exercices.

1. Trouver l'équation de la perpendiculaire menée à ladroitcf par le point B, où elle rencontre la droite a.

Cette équation est de la forme Iol -, ny = o\\di condition de perpendicularité donne n =i IcosB, B étant l'angle des droites a et y- (Foi>no54, Ex. 6.)

2. Trouver l'équation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de 7.

Le point milieu de y ^st l'intersection de y sivec a sinA — ,ô sinB, *> P> ïi A, B, G ayant la signification indiquée ci-dessus ; l'équation cherchée sera donc de la forme asinA — psinB-i-ny^^o, avec la condition

/i — sin(A — B).

3. Les trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle se coupent en un même point.

Les équations de deux de ces droites sont

a sin A — 3 sin B -h Y sin ( A. — B ) = o, psinB — YsinG"^- asin(B — G) — o.

En éliminant successivement a, p, y cintre ces deux équations, on trouve, pour les lignes qui joignent l'intersection de ces deux droites

MÉTHODE DBS NOTATIONS ABRÉGÉES. Io3

aux trois sommets, r = — '-r: " — ^. l la symétrie de ces équa-

' cosA cosB cosC^ "^ ^

tipns montre que les trois perpendiculaires se coupent en un même

point. On peut, du reste, observer qu'en ajoutant les équations des

trois perpendiculaires, après les avoir multipliées respectivement par

sin^G, sîn'A, sin^B, on obtient une somme identiquement nulle.

4. Trouver, d'après le n» 25, le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle compris entre les deux droites /an- mp -f- ity,

5. Prouver queoL cos A -r- ^ cosB -f- y cosG est perpendiculaire à

a sin A cosA sin(B — G)

— P sinB cosB sin(G — A) -4- y sinG cosG sin(A - B;*

6. Trouver l'équation de la droite menée par le point {a!, p', -y') perpendiculairement à la droite y-

3t ( P' -f- y' cos A) — p (a' -i- y' cosB) -4- 7 ( p' cosB — %' cos A) = o.

62. Nous avons vu qu on peut toujours mettre l'équation d'une droite sous la forme

la -h mp -\- ny =2 Of

et résoudre un certain nombre de problèmes, par une série d'équations en a, ^, Y' ^^^^ faire aucune mention directe de ^ et de /. Mais on peut envisager à un autre point de vue le principe exposé au n** 60, et, au lieu de considérer a simplement comme abréviation de la quantité ic cos a -résina — p^ le regarder comme exprimant la distance d^un point à une droite a. Nous nous trouvons ainsi conduits à faire usage d'un système de coordonnées trilinéaires, dans lequel la position d'un point est définie par ses distances à trois droites fixes, que nous appellerons lignes de référence, et la position d'une droite par une équation homogène entre les distances de ses points aux lignes de

référence, équation de la forme

Dans les coordonnées cartésiennes, ou coordonnées ordinaires en X et y, la plus grande simplification à laquelle on puisse arriver consiste à choisir pour axes deux des lignes les plus remarquables de la figure; dans les coordonnées trilinéaires, et c'est là leur avantage, on peut espérer une simplification plus grande, puisqu'on peut prendre trois des lignes de la question pour lignes de référence a, P, y. Pour se convaincre de ce qui précède, il suffit de comparer les expressions données au n® 54 à celles qui leur correspondent dans le Chapitre II.

63. Les distances d'un point quelconque O aux droites de référence a, P, y sont assujetties à la relation

dans laquelle on a désigné 'par a, 6, c les longueurs des côtés, et par M le double de l'aire du triangle ABC de référence. Cette relation est évidente, puisque les produits aa^ b^^cy représentent respectivement le double de l'aire des triangles OBC, OCA, OAB, et il est facile de voir qu'elle subsiste toujours, que le point O soit ou non dans l'intérieur du triangle ABC. Rappelions-nous, en effet, que, lorsque le point O sort du triangle et passe de l'autre côté d'une des lignes de référence, de a par exemple, sa distance à cette ligne (n® 34) prend le signe — ; la quantité aoL-\' b^-*- cy devient alors le double de OCA + OAB — OBC, et par suite représente encore le double de l'aire du triangle de référence.

Les longueurs a, 6, c étant proportionnelles à sinA, smB, sinC, la quantité

a sin A -H p sin B 4- Y sin C

MÉTHODE DBS NOTATIONS ABRRGÉBS. Io5

est une constante. On peut, d'ailleurs, le démontrer directement en mettant cette quantité sous la forme

asin(^ — y) -f-psin(Y — a) -h Ysin(a — p),

et en y remplaçant a, p, y par les expressions équivalentes en œ etjKÎ on voit alors que les termes en x ely s* évanouissent. Le théorème que nous venons de démontrer permet de n'employer que des équations homogènes en a, pet y : ainsi, par exemple, Péquation a = 3 peut se mettre sous la forme homogène

64. Trouver en coordonnées trilinéaires Inéquation d'une parallèle à la droite la. -{- mg -h ny.

En coordonnées cartésiennes, deux droites, A^ ~h B/ -f- G, A,x -j- By 4- C sont parallèles lorsque leurs équations ne diffèrent que par une constante. L'équation

/a -h mp-i- ny-^ Â:((xsinA -\- psinB -h YsinC) r-.o

représente donc une parallèle à la droite la -r- m^ ~t- ny =: o^ puisqu'elle ne diffère de l'équation de cette droite que par une quantité qui est constante, ainsi que nous venons de le démontrer. t

On verrait de même que l'équation

A ^ -h Bj H" G -4- ( A X -f- B r 4- C' ) = o

représente une parallèle aux deux droites

Aa; -f- Bj 4- G — o, A,r 4- B > -i- G' ~ o,

située à é^ale distance de ces droites. Si donc deux équations P= o, P' = o sont telles que P ne diffère de P'que par une constante, l'équation P -}- P' =r o représente une parallèle à P et F, passant à égale distance de P et de F.

ic6 GHA.PITRB IV.

Exercices.

1. Trouver V équation de la parallèle menée à la base y d'un triangle par le sommet G.

Réponse. a sinA -r- ^ sinB = o.

Cette droite passe en effet par (a, P), et son équation, qui peut s'écrire

Y sin G — (a sin A -i- p sin B -r- ^ sin G ) = o,

ne diffère de y = o que par une constante.

Nous voyons ainsi que cette parallèle asinA-i- ^sinB et la médiane de la base a sin A — ^sinB forment, avec a et ^, un faisceau harmonique (n® 57).

2. La droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. En effet, son équation est (n^GO, £x. 2)

asinA -h ^sinB — y sinG = o, ou

aY sinG = a sin A -h p sinB -+• y sinG.

3. La droite aot — 6p 4- cy — d^ (n® 54, Ex. 5) passe par le milieu de la ligne joignant (a, y)? (P) ^)- ^^ effet, la quantité

(aa-f-CY)-+-(ftp -+-fl?8)

est constante comme étant le double de Taire du quadrilatère : les droites aa-f- cy et b^-h d^ sont donc parallèles; il en est de même de (aa-f- cy) — (b^-^ d^) qui passe à égale distance des deux premières. Cette dernière droite divise donc en deux parties égales la droite qui joint* les points (a, y) et (p, 8) considérés comme appartenant Respectivement à la première et à la seconde droite.

65. Écrire sous la forme la ~\- m^ -\- n^ = o l'équation de la droite joignant les deux points (x^^y), {x'^,y").

Désignons toujours par a', ^^ • • . , les quantités

x' cosa ~\- y' sin a^ — />,

La condition pour que les coordonnées x\ y' satisfassent à Téquation

/ot-f- mp-h /*Y = o

MÉTHODE DES NOTATIONS AUREtiEES. I07

pourra s'écrire

/a' -H mp' -h /iy'=:o, et Ton aura de même

W -^- m^" -^- nf ^ o.

Tirant de ces deux équations les valeurs des rapports — > — >

et les portant dans l'équation primitive, on obtient pour Féquation de la droite qui joint les deux points

On doit observer que les équations en coordonnées trilinéaires étant homogènes, il n'y a pas lieu de considérer les distances absolues d'un point aux lignes de référence, mais seulement leurs rapports; ainsi l'équation précédente n'est pas altérée quand on y remplace a', P', y', par pa', p3', py'. Lorsqu'un point est donné comme intersection des droites

.=: — = -» on peut donc prendre l, m et n pour ses coordonnées trilinéaires ; si l'on désigne en effet par p la valeur de ces fractions, le^ distances du point aux lignes de rétérence seront /p, mp, /ip, p étant donné par l'équation

a/p -h ftmp -h c/i p =r M ;

et, ainsi qu'on vient de le voir, il n'y a pas lieu de déterminer p. En appliquant l'équation trouvée plus haut, on peut donc prendre pour les coordonnées de l'intersection des médianes du triangle ABC, sinBsinC, sinCsinA., sinAsinB; pour celles de l'intersection des hauteurs, cosBcosC, cosCcosA, cosAcosB; pour celles du centre du cercle inscrit, i, i, i; pour celles du centre du cercle circonscrit, cosA, cosB, cosG,

Exercices.

1. Trouver i' équation de la droite joignant V intersection des hauteurs à celle des médianes.

i08 CHAPITRE IV.

Réponse»

ŒsinA cosA siii(B — C)-h p sinB cosBsin(G — A)

-i- Y sin G cos G sin ( A — B ) = o.

2. Trouver l'étjuaiîjn de la ligne joignant les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Réponse,

ai(cosB — cosG)-i- ^(cosG — cosA) -4- y(cosA — cosB) = o.

66. On peut .démontrer, comme au n" 7, que lorsqu'une droite joignant deux points se trouve divisée par un troisième point dans le rapport / : m, la distance du point de division

à la ligne a a pour expression — , ol et ci' représentant

les distances des deux premiers points à cette même ligne. Les coordonnées trilinéaires du point qui 'divise, dans le rapport / : m, la droite joignant les points (a', P', Y )î {^"t P*^» */')» seront donc lail -^ mol' ^ l^ -^m^^^ /y' -4- m-/'. Il est du reste évident que le point dont nous venons de donner les coordonnées appartient à la droite joignant les points donnés, puisque si a', p', /) «^ P'S ï" satisfont à la .fois à Téquation Aa r B3 i- Cy = o , il en sera de même de lai -f- maP^ l^'-i-m^\ l^-^m/.

Les propositions suivantes se démontrent sans difficulté : Les quatre points loi — mol\. . ^^ la! -h mal ^ J et af forment une division harmonique. Le rapport anharmonique des points ol— kai!\ a — /a', a' — ma", ol — hx" a pour valeur

Les deux systèmes de points

a' — ^a^ a' — U", . . . , as — Ara^, as — /a^, . . . ,

situés sur deux droites différentes, sont homo graphiques^