METHODE DBS NOTATIONS ABRÉGÉES. III

forme, comme elles le sont en réalité, il suffit de mettre en évidence l'unité linéaire. En représentant cette unité par z, l'équation de la droite peut s'écrire

et si on la compare avec l'équation

Aot-HBp-{-CY = o,

en observant f n® 67) que l'équation d'une ligne prend la forme j5 = o, lorsque cette ligne est à l'infini, on voit que les équations en coordonnées cartésiennes ne sont que la forme particulière prise par les équations en coordonnées trilinéaires, lorsque, deux des lignes de référence devenant axes de coordonnées, la troisième ligne de référence s'éloigne à V infini.

70. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur les systèmes de coordonnées tangentielles. Dans un pareil système, la position d'une droite est définie par des coordonnées, et celle d'un point par une équation ; toutefois, dans ce Traité, nous le considérerons moins comme un nouveau système de coordonnées que comme une nouvelle manière d'interpréter les équations. L'équation d'une droite, en coordonnées trilinéaires ou cartésiennes, étant

la position de cette droite sera déterminée lorsque l'on connaîtra les quantités X, pi, v : nous pouvons dès lors appeler ces trois quantités, ou plutôt leurs rapports qui sont seuls à considérer, les coordonnées tangentielles de la ligne droite. Lorsque cette droite passe par un point fixe (a?', y\ z'), on a la relation Xic' -h- jjlJ^' -f- v^ ^-= o; une équation de la forme aX-h èfx-f- cv == o, entre les coordonnées X, p. et v d'une droite, exprime donc que cette droite passe par le point fixe

lia CHAPITRE IV.

(a, 6, c) (n®51 )^ et peut s' Ap^elerV équation du point {a, 6, c).

Oa peut employer des abréviations pour les équations de points , et représenter par a, ^ les quantités ^'X 4-jkV 4- -s'v, x"\ -f-yV -f- ^''v ; alors la-h m^ = o est Téquation du point qui divise dans un rapport donné la droite joignant les points a, P; la=^ m^^ m^:= n^^ ny= la, sont les équations de trois points en ligne droite; a-j-A^p, a — A"P , représentent deux points qui forment avec a et p un système harmonique.

Nous reviendrons plus loin sur ces analogies, que nous ne faisons qu^indiquer ici ; nous aurons alors occasion de montrer que les théorèmes respectivement relatifs aux points et aux droites ont une corrélation telle, que, les uns étant donnés, on peut en déduire les autres, et que souvent on peut les démontrer les uns et les autres en interprétant diversement les mêmes équations. Les théorèmes auxquels nous venons de faire allusion portent le nom de théorèmes réciproques.

Exercice.

Interpréter en coordonnées tangentielles les éq uations employées au no 60 (Ex. 2).

Soient a, p, y les équations des points A, B, C ; m^ — /i y, n^ — /a, Id — mp celles des points L, M, N; on voit que mp-H/iy — ^a, n^-\- loL — /n p, /a -h mp — n^ représentent les sommets du triangle formé par LA, MB, NG; Iol-\- m^-\- n^ définit le point O où concourent les droites joignant les sommets de ce triangle aux sommets du triangle primitif; /np-f-ny, n^-\-la, /ot-h/np représentent D, E, F.

Il est dés lors facile de voir les points de la figure qui forment des divisions harmoniques.

DBS ÉQUATIONS REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES. Il3

DBS ÉQUATIONS D'UN DEGRÉ SUPÉRIEUR AU PREMIER REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES.

71 . Avant de nous occuper des courbes représentées par des équations d'un degré supérieur au premier, nous allons examiner quelques-uns des cas où ces équations représentent des lignes droites.

Lorsqu'on fait le produit d'un nombre quelconque d'équatioqs L = o, M =: o, N m o, . . . , on obtient une équation composée LMN. . . — ^ o^ qui représente l'ensemble de toutes les lignes correspondantes à chacun de ses facteurs, puisqu'elle est vérifiée par les valeurs des coordonnées qui annulent séparément chacun d'eux. Réciproquement : Lorsqu'une équation d'un degré quelconque peut se décomposer en plusieurs équations de degré moindre^ elle représente V ensemble de tous les lieux définis par ces dernières équations.

Ainsi, lorsqu'une équation du n'*"® degré peut se décomposer en n facteurs du premier degré, elle représente n droites.

72. U équation homogène du n^^^^ degré en x et y représente n droites passant par l'origine.

Soit

a?* — px'^^^y -f- qx'^ -'y* — ... -f- ty'^ = o S. — Georn. à deux dim. 8

Il4 CHAPITRE V.

cette équation; en la divisant parj^", il vient

/BX'* / x\^~^ /«z?^" ~'

OU, en désignant par a^ b^c. . . . les n valeurs qu'on en tire pour — ,

L'équation primitive peut donc se mettre sous la forme

{a; — ay){x — by){x — cy) . . . = o.

et Ton voit ainsi qu'elle représente n droites, x — ay = o, . • • , passant toutes par l'origine. En particulier, l'équation homogène

a?' — pxy -i- qy^ =z o

représente les deux droites x — ay = o, x — by = o, a etb étant les racines de l'équation du deuxième degré

-y-py-^^,^o.

On prouverait de la même manière que l'équation

-f-^(;r — a)"-»(7 — ^»)--h... -\-l{y—bY = o ' représente n droites passant par le point (a, é).

Exercices.

\ . Que représente V équation xy = o?

Les deux axes ; puisqu'elle est vérifiée par Tune ou l'autre des suppositions a: = o, 7 — o.