Quelles sont les lignes représentées par

X* — 6x^y •+- 1 1 xy^ — 6y' = o?

73. Examinons plus en détail les trois cas qui peuvent se présenter dans la résolution de l'équation

a:^ — pxy -i- qy* -^ o, ou, ce qui revient au même, de

suivant que les racines a et 6 de cette dernière équation sont réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires.

Le premier cas ne présente aucune difficulté : a et 6 sont les tangentes des angles que les droites font avec l'axe desj^, les axes étant supposés rectangulaires; p est la somme de ces tangentes, et q est leur produit.

Dans le deuxième cas, où a = 2», on dit habituellement que Téqnation ne représente qu'une seule droite : x — ay =rT o ; mais alors le fait géométrique ne correspond pas à l'expression algébrique, et il y a tout avantage à faire disparaître ce désaccord. Nous regarderons donc, dans ce cas, l'équation comme représentant deux droites qui coïncident, et non pas comme ne représentant qu'une seule droite; de même

Il6 CHAPITRE V.

que nous disons que Téquation a deux racines égales, el non pas qu'elle n'a qu'une seule racine.

Dans le troisième cas, les racines sont tontes les deux imaginaires, et l'on ne peut satisfaire à l'équation par aucunes coordonnées réelles autres que celles de l'origine :r^o, jr = o] aussi dit-on habituellement que l'équation ne représente plus un système de lignes droites, mais bien l'origine. Cette manière de s'exprimer soulève plusieurs objections : elle suppose en efTet que , dans certains cas , une seule équation peut représenter un point; et cependant mous avons vu (n® 14) qu'il (^ul deux équations pour déterminer un point. Elle suppose, en outre, bien que nous ayons toujours considéré deux équations différentes comme ayant des significations géométriques différentes, qu'une quantité innombrable d'équations peuvent être regardées comme celles d'un même point, puisqu'il suffit, pour que les racines soient imaginaires, que p^ soit inférieur à 4?) quelles que soient, du reste, les valeurs particulières de /> et de q. Pour parler en Géométrie le même langage qu'en Algèbre, ce qui nous paraît de beaucoup préférable, nous dirons donc que l'équation représente deux droites imaginaires, et non pas qu'elle ne représente aucune droite ; de même que, dans le cas où p^ est inférieur à 4?) nous disons que l'écpiation a deux racines imaginaires, et non pas qu'elle n'a point de racines.

En résumé, l'équation x^ — pxy -f- qy^ = o pouvant, dans tous les cas, se mettre sous la forme {x — ay)(x — 6^) rr= o, représente toujours, quels que soient a et 6, deux droites passant par l'origine. Si a et 6 sont réels, les deux droites sont réelles; lorsque a est égal à 6, les deux droites coïncident; enfin quand a et 6 sont imaginaires, les deux droites sont imaginaires. Il peut paraîtra de prime abord, indifférent d'adopter telle ou telle manière de s'exprimer; mais nous verrons, par la suite, combien d'analogies importantes

DBS EQUATIONS REPRIÎ8BNTANT DBS LIGNES DROITES. II7

nous échapperaient si nous ne conformions pas notre langage aux principes que nous venons d'exposer. De semblables remarques s'appliquent à l'équation

puisqu'on peut la ramener à la forme x^ — pxy 4- qy^ = o, eu divisant tous ses termes par le coefficient de x-. Elle représente donc toujours deux droites passant par l'origine; ces droites sont réelles lorsque B* — 4 AC est positif, coïncident quand B^ — 4A.C est nul, et enfin deviennent imaginaires lorsque B^ — AC est négatif.

C'est encore d'après les mêmes principes que nous interpréterons géométriquement les racines égales ou imaginaires qui peuvent se rencontrer dans la résolution de l'équation homogène du /i**"" degré.

74. Trouver l'angle compris entre les droites représentées par l'équation x^ — pxy + qy^ = o.

Soit {x — ay) (x — by) :^ o la forme que prend cette équation lorsqu'on y met en évidence les droites qu'elle représente (n^ 72). L'angle 9, compris entre ces deux droites, est défini par la relation (n® 25)

a — b ^^ i -h ao qui se réduit à

en observant que, d'après la théorie des écpiations,

ab=:q, a — b=r.^p^ — 4^-

Si l'équation avait été donnée sous la forme

Ad?' -h Bxy -{-Cy^zzzo^

«l8 CHAPITRE V.

on aurait trouvé,

i/B» — 4AC

Corollaire. — Les droites sont perpendiculaires lorsque tango devient infini, c'est-à-dire lorsque q ==^ — i , ou A -i- G ^^ o , suivant que l'on considère la première ou la deuxième forme d'équation.

Quand les axes sont obliques, l'angle des deux droites est défini par la relation

sina)i/B»--4AG tango -- J^ -r •

Exercice.

Trouver les angles compris entre les droites

x^ -f- œy - 6x* ~- o, x^ — ixy séc6 -i-^* = o. Réponse. «p — 45<», <p = 6.

75. Trouver V équation des bissectrices des angles formés par les deux droites que représente l'équation

Kx^ -+- ^xy -h C^* ^r o.

Soient X — ay^^o^x — fej- = o ces deux droites; x — ^y =^ o l'équalion d'une bissectrice. Pour déterminer ji., reniarquons (n*' 18) que [x est la tangente de l'angle compris entre la bissectrice et l'axe desj^, et que cet angle est égal à la demisomme des angles que les deux droites font avec cet axe; nous aurons ainsi

^i — ab'

et par suite

afjL B