DES ÉOUATIONS REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES. UQ

puisque, d'après la théorie des équations,

ah b :- — T' ^^~- r

On obtient de cette manière, pour déterminer [ji, l'équation du deuxième degré

U- — 2 Ti {/. — I r=r O.

L'une des racines représente la tangente de l'angle que la bissectrice intérieure des deux droites fait avec l'axe desj'; l'autre, la tangente de l'angle que la bissectrice extérieure fait avec ce même axe. En remplaçant dans cette équation {j.

par sa valeur — > on trouve, pour l'équation composée des

deux bissectrices,

x^ — i—^xy—y'^ — o (,'),

et il résulte de la forme de cette équation (n® 74) que ces bissectrices se coupent à angle droit.

On peut arriver au même résultat en posant (n® 35} les équations des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle formé par les droites x — ay —- o^x — èj- = o, et en les multipliant l'une par l'autre. En chassant les dénominateurs dans -la relation ainsi obtenue

{x — ayY {x — byY

(') II y a lieu de remarquer que les racines de cette équation sont toujours réelles, même lorsque celles de l'équation primitive

Kx' -hBxy -{- Cy' -- o

sont imaginaires. De là cette proposition curieuse : « Les bissectrices des angles formés par un système de deux droites imaginaires sont réelles. » Cest dans l'existence de pareilles relations, entre des lignes réelles et des lignes imaginaires, que l'emploi des lignes imaginaires puise toute son utilité.

lao CHAPITRE V.

et en y remplaçant a-h b et ab par leurs valeurs en fonclion des coefficients A, B et C, on retombe sur la même équation que ci-dessus.

76. Nous avons vu que l'équation du second degré peut représenter deux droites, autrement dit, se décomposer en deux facteurs du premier degré; pour qu'il en soit ainsi, il faut que ses coefficients satisfassent à une condition que nous allons déterminer.

L'équation générale du second degré

peut s'écrire

ax* ~\- 2(hy -h g) X -h by* -+- 2/y -i- c :=: o,

et, en la résolvant par rapport à a:, on trouve

ax — — {hy -^~ g) ±\/{h* — ab) y^ -h2{hg — a/) y -h {g' — ac).

Pour que cette expression puisse se ramener à la forme X :^= my -r n^ il faut que la quantité sous le radical soit un carré parfait, ce qui donne, pour la condition cherchée,

(' ) Il pourrait paraître plus naturel d'écrire cette équation :

Mais, pour conserver une notation uniforme dans tout le cours de cet Ouvrage, nous avons cru devoir adopter, dés le commencement, la forme donnée dans le texte, dont nous aurons lieu, plus tard, d'apprécier la commodité et la symétrie. Nous verrons, en effet, que cette équation est liée intimement avec l'équation homogène à trois variables, à laquelle on a donné la forme symétrique :

ax'*^ -+- hy^ -r C5 ' -+- "^fyz -h a gzx -f- a hxy = o,

et dont elle se déduit en y faisant z — \. Le coefficient i qui se trouve dans plusieurs termes rend plus simples, et plus faciles à retenir, un certain nombre de formules auxquelles conduit l'emploi de cette équation.

DES ÉQUATIONS REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES. I^il

OU, en développant et divisant par a,

Lorsque cette condition est remplie, les équations dos deux droites s'obtiennent en prenant le radical successivement avec le signe -f- et avec le signe — .

Exercices.

i. Vérifier que l'équation

représente deux droites, et trouver ces droites.

En résolvaDt celte équation par rapport à x, comme il vient d'être <îit, on trouve, pour les deux droites,

X — y — 1 = 0, X — 4/-Ha = o.

2. Vérifier que l'expression suivante représente deux droites