Déterminer h, de telle sorte que l'équation

x^ -h 2hxy -^-y^ — 5x — 7^-^6 = 0

représente deux droites.

Ed remplaçant les coefficients de l'équation générale par les valeurs qui leur correspondent dans Téquation donnée, on trouve.

( ' ) Lorsque les coefGcients des termes en xy, en x et en y de l'équation générale ne comportent pas de facteurs numériques, cette condition devient

4 abc -4- fgh — a/* — bg* -^ ch= o.

pour déterminer h, l'équation du second degré 12A2 — 35 A -4- aS — o,

5 5 dont les racines sont » et -•

*77. La méthode exposée au numéro précédent est très simple lorsqu'il s'agit d'une équation du second degré, mai? elle n'est pas applicable aux équations de degré supérieur: aussi donnerons-nous une autre solution du problème, en cherchant dans quelles conditions on peut identifier une équation du second degré avec le produit des équations de deux droites

(a^ -\-Py— I ) (a'o? -r- p'7 — i ) == o.

Pour cela, il suffit d'effectuer le produit indiqué et d'égaler le coefficient de chaque terme à celui du terme correspondant de l'équation générale du deuxième degré, après avoir préalablement divisé cette dernière par c, de manière à rendre le terme absolu égal à l'unité. On obtient ainsi cinq équations

quatre d'entre elles servent à déterminer les valeurs des inconnues a, a', p, ^' en fonction des coefficients de l'équation générale; la condition cherchée se trouve en exprimant que ces valeurs satisfont à la cinquième.

Les quatre premières équations donnent, pour déterminer a, û/, 0, ^', deux équations du deuxième degré qu'on peut aussi trouver en observant que les valeurs de a, a', P, P' sont les inverses des segments déterminés par les droites sur les axes. Ces segments sont donnés par les équations

aj7* -f- 2ga: -h c = o, by* -\- 2 fy -h c =z o.

DES ÉQUATIONS REPRÉSENTANT DBS LIGNES DROITES. laS

qui s'obtiennent en faisant alternativement ;r ^= o,j>^ == o dans réquation générale.

Pour compléter la solution, nous n'avons plus qu'à tirer, de ces deux dernières équations^ les valeurs de a, o/, P et ^' pour les porter dans la cinquième des équations données en premier lieu. Mais on peut opérer plus simplement, en remarquant que rien n'indique quelle est celle des racines a et a/ de la première équation du deuxième degré qui doit être combinée avec la racine ^ de la seconde, et par suite que le

rapport — peut avoir aussi bien la valeur x^ -- a'p, que la

valeur o^ -h ol^'. Il est facile, du reste, de se rendre compte géométriquement de cette particularvté.

Si le lieu rencontre les axes aux points L, U, M, M', et s'il se compose de lignes droites, son équation peut aussi bien représenter les deux droites LM, UM' que les deux droites LM', L'M ; elle doit par conséquent s'identifier avec l'une ou l'autre des équations

(aâ? -h pj — I ) {(jJx -\-p'y — \)-- -.0. {(tx-\- p'j— i) {9.'x-\- P/ — i) ---o.

Cela étant, on a, pour la somme des deux quantités a0 -r a'^',

ap -+- a'p' H- ap' -^ a'p i=i (a -h a') (p 4- P') =: ^y et pour leur produit

(xp -i- a'pO (a'p -h ap') =: ota' ( p*l H- p'* ) -t- pp' (a* -i-a'^)

a 4./^ — 26c h (\g^ — lac

ce*- c c*

Les valeurs de - sont donc données par l'équation du

deuxième degré

A' /g 2 h a/* 4- b^^ — abc

qui se ramène facilement à la. condition donnée précédemment.

Exercice.

Déterminer h, de manière quex^-+-^ hxy -r-y^ — 5a? — 7^ -4-6 = 0 représente deux droites (n« 76, Ex. 4).

Les segments déterminés sur les axes sont donnés par les équations

a?* — 5a? -i- 6 = 0, Y^ — 'jy ->r ^ ^ o^

dont les racines sont

£n formant les équations des droites qui joignent les points ainsi obtenus, on voit que, si l'équation donnée représente des droites, elle doit être de Tune ou de l'antre des formes

i^X'\-iy — i^^ix-r-y — 6) = o, (ar-f- 3^ — 3) (Sar-f-j — 6) =0.

Effectuant les multiplications, on trouve facilement les valeurs de h.

*78. Trouver le nombre des conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients de l'équation générale du jiième degré, pour qu'elle représente un système de n droites.

Nous procéderons, comme au numéro précédent, en comparant le produit des équations des n droites

(xJ7 + P/— i)(a'a?-+-p'7— I ) ( a'^J? -H ^'^7 — i)... 1=0.

avec l'équation générale, dans laquelle nous aurons rendu le terme absolu égal à l'unité.

Les termes absolus étant identiques, on trouve ainsi N — i équations, N représentant le nombre des termes de l'équation générale; et comme 2/1 d'entre elles suiBsent pour déterminer les 2n inconnues a, o/, a',. . , il faudra N — i — 2/1 conditions; qui s'obtiendront en éliminant a, a/, a". • , entre les N — I équations.

DBS ÉQUATIONS REPRÉSENTANT DBS LIGNES DROITES. 125

£n écrivant l'équation générale sous la forme

-+- D j?* -+- Eofy H- F^* H- Gx* -+■ Ha?'7 -h Kxy^ + Ly* 4- = o,

on voit immédiatement que le nombre des termes de cette équation est égal à la somme des termes d'une progression arithmétique, et que

formule d'où l'on déduit successivement

N — I :— — ^ -, fj — I — 2 /i = ^.

1*26 GHAPITRB VI.

DU CERCLE

79. Nous croyons utile, avant de discuter l'équation générale du second degré, d'étudier d'abord le cercle, pour faire voir, parce cas assez simple, comment on peut, de l'équation d'une courbe déduire toutes les propriétés de cette courbe, sans en avoir fait une étude préalable par les procédés géométriques.

L'équation en coordonnées rectangulaires du cercle qui a pour centre le point (a, p) et pour rayon r est (n® 17)

Quand le centre est à l'origine des coordonnées, on a a =1^ o, 3 — ~ o, et l'équation se réduit à

Lorsqu'on prend pour axe des x un diamètre, et pour axe des y une perpendiculaire à l'extrémité de ce diamètre, on a a =^ r, p = o, et l'équation devient

a?* -h j' = 2 rx.

Ces deux derniers cas se rencontrent assez souvent dans les applications.

80. Dans l'équation du cercle en coordonnées rectangulaires, les coefficients de x^ et de y^ sont égaux, et le terme

DU CERCLE. 127

en xy manque . L'équation générale

ax^ -h 2 hxy -h 67' h- 'Àgx -h if y -\-cz=zo

ne peut donc représenter un cercle que si Ton a, à la fois, a^=b^ h= o. Quand ces conditions sont remplies, on peut la ramener à la forme

en suivant un procédé analogue à celui qui est usité dans la résolution de l'équation du deuxième degré. Il suffit, après avoir ramené les coefficients de x^ et dey^ à l'unité, de faire passer dans le second membre le terme absolu, et de compléter les carrés en ajoutant aux deux membres la somme des carrés de la moitié des coefficients de x et de y. £n appliquant ce procédé à l'équation

a {x* H-/*) -{- ^gX -4- 2/y -i- C rzr O,

on trouve

*'V , /'„ , fY g* + r-ac

ce qui donne

pour les coordonnées du centre, et

pour le rayon . '

Quand g^ -\-/^ est plus petit que ac, le rayon du cercle est imaginaire, et l'équation du cercle, qui se ramène alors à une équation de la forme

ne peut être vérifiée par aucune valeur réelle de x et de y.

I3d CHAPITRE VI.

Lorsque g^ -f-/* est égal à ac^ le rayon est nul, et l'équation du cercle, qu'on peut alors identifier avec réquation

n'est vérifiée que par les coordonnées du point (a, P). On désigne quelquefois cette équation sous le nom A équation du point (a, P) ; mais pour des raisons déjà énoncées ( n° 73), nous préférons la considérer comme Téquation d'w/i cercle infiniment petit. Nous avons vu aussi (n® 73 ; qu'on pouvait la regarder comme l'équation de deux droites imaginaires

passant par le point (a, p). De même l'équation x^ -f-^* = o peut être considérée comme celle d'un cercle infiniment petit ayant l'origine pour centre, ou bien comme celle des

deux droites imaginaires x ^y\J — i = o.

Exercice.

Ramener à la forme {x — olY -\- {y — P)' = r* les équations X' -\- y^ - IX -~ ^y =^ 7x>, 3a7* -!- 3/* — Sx -— '^y -hi = o. Réponse.

Les coordonnées du centre et le rayon sont, dans le premier cas, (i, a) et 5 ; et dans le second, ( ^ ' ? ] ^^ z v^62-

81. L'équation du cercle en coordonnées obliques est peu usitée; on l'obtient en exprimant (n®8) que la distance du centre à l'un quelconque des points du cercle est égale au rayon ; on trouve ainsi

(57 — a)^ -h ( X — P)* 4-2 (^ — a)( X— p)cosa)— r*.