DC CERCLE. I2<J

En comparant cette équation à l'équation générale du second degré, on voit que celle-ci ne peut représenter un cercle que si l'on a, à la fois, a= 6, A = acosù). Lorsque ces conditions sont remplies, on peut identifier les deux équations, et l'on a, pour déterminer les coordonnées du centre et le rayon, les relations

a ~t- 6 COS(i> =: — — > S 4- a COSW nz — •- ,

a' ■+- P* -H 2 aô coso) — r' = - •

Les deux premières suffisent pour déterminer a et p, et comme elles ne renferment pas c, il s'ensuit que deux cercles sont concentriques lorsque leurs équations ne diffèrent que par une constante.

Lorsque c = o, le cercle passe par l'origine, puisque son équation est vérifiée par les coordonnées x =i o^y = o de cette origine. Cette remarque est générale, et lorsqu'une équation n'a pas de terme absolu^ la courbe qu'elle représente pa^se par V origine,

82. Trouver les coordonnées des points où la droite X cosa -h y sina :=/? rencontre le cercle x^ -\~y^ =^ r^.

En égalant l'une à l'autre les valeurs de j^ tirées de chacune des équations, on trouve, pour déterminer x^

\Jr'^ — X'^

sma ou, en réduisant,

j?* - 2joa?cosaH-/?' — r'sin'a=:o; d'où

X r=ipcosa ±1 sinay/r^ — />•; S. — Géom» à deux dim.

l3o CHAPITRE Yf.

on trouverait de même

y:=ipsinaLZf. cosa y//- — /»*.

Il est d'ailleurs facile de voir, en portant ces valeurs dans les équations données, que le signe — dans la valeur de j>^ correspond au signe + dans la valeur de ^, et vice versa.

Nous avons trouvé, pour déterminer a:, une équation du deuxième degré, c'est-à-dire une équation ayant deux racines réelles ou imaginaires ; nous devons en conclure, pour faire correspondre le fait géométrique à l'expression algébrique, qu'une droite quelconque rencontre un cercle en deux points réels ou imaginaires.

Lorsque p est plus grand que r, c'est-à-dire lorsque la dislance de la droite au centre est plus grande que le rayon, la droite, considérée géométriquement, ne rencontre pas le cercle, et cependant l'analyse donne des valeurs imaginaires définies pour les coordonnées des points d'intersection. Aussi ne dirons-nous pas que la droite ne rencontre pas le cercle ; nous dirons qu'elle le rencontre en deux points imaginaires, et cela, parce que nous disons que l'équation du deuxième degré a deux racines imaginaires, et non point qu'elle n'a pas de racines. Par point imaginaire, nous n'entendons, du reste, pas autre chose qu'un point ayant une de ses coordonnées imaginaires^ ou toutes les deux. C'est là une conception purement analytique que nous ne chercherons pas à représenter géométriquement, pas plus que nous n'attachons de signification arithmétique aux valeurs des racines imaginaires d'une équation. La considération des points imaginaires est nécessaire pour conserver aux raisonnements toute leur généralité; il existe en effet, ainsi que nous le verrons bientôt, un grand nombre de propositions dans lesquelles la droite qui joint deux points imaginaires est réelle et jouit de toutes les propriétés géométriques de la droite qui lui correspond dans le cas où les points sont réels.

DU GEACLE. l3l

83. Lorsque /? =:r, la droite, ainsi qu'on le démontre en Géométrie, est tangente au cercle. L'Analyse conduit à la même conclusion; elle indique en effet que, dans ce cas, les deux valeurs de x^ ainsi que celles de j^, sont égales entre elles, et, par suite, que les points correspondantà ces valeurs particulières de x elàey coïncident, au lieu d'être distincts, comme ils le sont généralement.. Nous ne dirons donc pas que la tangente ne rencontre le cercle qu'en un seul point; nous dirons qu'elle le rencontre en deux points qui coïncident, exactement comme nous disons que l'équation du deuxième degré, qui sert à déterminer ces points, a deux racines égales, et non pas qu'elle n'a qu'une seule racine. En résumé, la tangente au cercle, et plus généralement la tangente à une courbe quelconque doit être considérée comme une droite joignant deux points infiniment voisins de cette courbe.

On trouve de même une équation du deuxième degré, pour déterminer les points d'intersection de la droite A^ -h BjK -H C avec le cercle donné par l'équation générale ; et cette droite est tangente au cercle^ lorsque l'équation du deuxième degré a ses racines égales.

Exercices.