Trouver hs points oà les (zxes sont coupés par le cercle
Réponse, ,ar = 3, a? = 2 ; ^ = 6, 7" = i.
2. Quelle est l'équation du cercle tangent aux axes à une dis^ tance a de l'origine ?
Réponse. ar* -+- /* — '^ax — aqy -H a* = o.
3. Trouver l'équation d'un cercle en prenant pour axe des x une tangente, et pour axe des y une droite passant par le point de contact.
Dans ce cas, X, X' et (x sont nuls ; il est d'ailleurs facile de voir sur une figure que (jl' = arsincb.
L'équatîen cherchée est donc x* '\'ixy cosco -h^' — arr si nco = o.
85. Trouver Véquation de la tangente menée à un cercle donné par un point {x\y') pris sur ce cercle.
D'après la définition donnée au n? 83, la tangente à une courbe doit être considérée comme une droite joignant deux points infiniment voisins de cette courbe. L'équation de la tangente peut donc se déduire de l'équation de la corde passant par deux points quelconques (^', /"'), (^"j>^0 de la courbe, en y faisant x' = a?", y =^.
Supposons d'abord que le cercle ait son centre àl'origîn!;, son équation sera
l34 CHAPITRE YI.
et l'on aura, pour l'équation de la droite passant par les deux points {x^y'), (af\y) (n^ 29),
Lorsqu'on fait a;' == â?", y' =y dans cette dernière équation, le second membre devient indéterminé ; cela tient à ce que nous n'avons paâ encore exprimé que les points {x'^y)^ {xf\ y) se trouvent sur le cercle; en introduisant cette condition, on fait disparaître Tindé termina tion, car on a
r« = x'^ -+- y^ =1x1'^-^ f^y ce qui donne
et par suite
yf — y* x' -\- af
L'équation de la corde prend alors la forme
et, en y faisant x^ = oi? ^y =^y\ on a pour l'équation de la tangente
qui devient, toutes réductions faites, et en observant que
xx' -\- yy' = /**.
On peut encore arriver à cette équation de la manière suivante (*) :
(') Cette méthode est due à M. Burnside.
DU CERCLE. l3!ï
L'équation de la corde joignant deux points {x'^y)^ (a;", y') d'un cercle peut se mettre sous la forme
(œ — x'){x — oc") -\- {y — y) (7 — y)z=ix^ '\- y — r^\
en effet, cette équation représente une ligne droite, puisque les termes en x^ etj^'^ disparaissent après le développement; d'ailleurs, si l'on y fait x =^x\y =^y^ le premier membre devient identiquement nul, et il en est de même du second, attendu que (x'^y) est un point du cercle : cette droite passe donc par le point {x'^y') du cercle; on verrait de même qu'elle passe par Tautre point {x^^y"). En faisant x' ^=^ X''^y =^y' dans cette équation, on obtient pour celle de la tangente
qui se ramène, comme plus haut, à la forme
xx' -H yy 7=z r*.
Si l'on veut rapporter les équations ci-dessus à une autre origine, de telle sorte que a et ^ deviennent les coordonnées du centre du cercle, il suffit d'y remplacer (n**8) x^ x'^y^y' respectivement par x — a, ^' — <x^y — ^^y' — p ; on trouve ainsi, pour Féquation du cercle,
et pour celle de la tangente,
équation qu'il est facile de se rappeler en raison de son analogie avec celle du cercle.
Corollaire. — La tangente xx' -\-yy ^^r- est perpendiculaire au rayon x'y — y'x = o aboutissant au point de contact (n° 32).
l36 CHAPITRE VI
86. La méthode indiquée à la fin du numéro précédent peut s'appliquer à Péquation générale ( ' )
oo?" -h 2hxy -h by^ h- igx -h 'àfy 4- c z= o,
et Téquation
a{x-œ'){x — af)-^ih{x — x'){y'-y')-^b{y—y){y'-f) --^ ax'^ -r- 2 hxy h- by^ -h 2 gx -i- ify -\- c
représente la corde passant par les deux points {x'^y'). {xf^y") de la courbe. Cette équation est, en effet, du premier dei,a'é, et elle est vérifiée par les coordonnées x'^y'^^x^^y" des deux points. En y faisant ;r" = x', y =jk', on trouve pour l'équation de la tangente
a{x--x'y-^^h{x^x'){y^y')~^b{y-y'Y =rr ax'^ -H 2 hxy -h 6/* -H igx -\- if y -f- c,
ou, en développant,
*xax'x -h ih{x'y -+- y'x) + 2 b^y H- 2^0; -H 2/^ h- c = ao?'* -h 2 Â^ry H- ^j'*,
et. si Ton ajoute de part et d'autre 7,gx^ -^ ify' -^ c^ en observant que {x'^y') est un point de la courbe,
ax'x 4- h {x'y-\-yx) -\- by'y -h g{x -h x')
Cette équation de la tangente est facile à retenir; elle se déduit de celle de la courbe en y remplaçant respeclivement x^ et y^ par x^x, yy, nxy par x'y -r-yx; et enfin 2X^ 2y par x' ~\- x^y' -hjK»
(•) Lorsque cette équation représente un cercle, on a évidemment b -- a. A — acosu; mais la méthode étant indépendante des valeurs pariiculières de b ou de A, il y a tout avantage à obtenir dès à présent les for* mules dont nous aurons besoin plus tard dans la discussion de l'équalion générale du deuxième degré.
DU CERCLE. l37
Exercices.
1. Former les équations des tangentes aux courbes o?^ = c* et
Réponse, ad y -\- y x =■ id^ ^ 'kyy' — p {x -\- x \
