Trouver la tangente au point (5,4) à.u cercle

Réponse, ^x-r- y = i^.

3. Quelle est l'équation de la corde menée par les points {x^,y ), (x^,y ) du cercle x^ -\-y^ = r^?

Réponse, (x' -hx^)X'{- (y' -hy')y =^ r* -h x^ac^ -^yy-

4. Trouver la condition pour que la droite Ax-h By -f- G = o .soif tangente au cercle (x — oiy -^ (y — P)* = '*'•

Réponse. — , — = r, puisque la distance de (a, B) à cette

ligne doit être égale au rayon.

87. Mener une tangente au cercle x^ -^-y'^ = r* par un poin t donné {x\y).

Soient af,y' les coordonnées du point de contact; par hypothèse, les coordonnées x'^y satisfont à Féquation de la tangente en {xf^^y") (n® 85); on a donc

et, comme {x"^y') se trouve sur le cercle, on a aussi

Ces deux équations suffisent pour déterminer {x"^y')^ et, en les résolvant, on trouve

r^œ'± ry y/ x'^ -h / » — r» ^ r\y ^ rx^s/x'^-hy'-— r\

i38 CHAPITRE VI.

Par un point quelconque, on peut donc mener deux tangentes à un cercle : ces tangentes sont réelles si x'^ -I- J^'^ > / -, c'est-à-dire quand le point est en dehors du cercle; elles sont imaginaires sia?'^ -^-y'^ < r'-^, c'est-à-dire lorsque le point est à Tintérieur du cercle ; et enfin elles coïncident lorsque ^^ -\-y^ = ^"5 autrement dit quand le point est sur le cercle.

88. Puisque les coordonnées des points de contact s'obtiennent en résolvant par rapport à^ et jk les deux équations

xx' -h y y = r*, X* -\-y*=i /•',

on peut dire que, géométriquement, ces points se trouvent à l'intersection du cercle x^ +JK^ = f^^j et de la droite xx^ -i-yy' ^= r^,Ceile droite passe donc par les points de contact des tangentes menées par [x'^y')^ comme on peut du reste le vérifier en formant l'équation de la droite qui joint les deux points dont nous avons trouvé les coordonnées au numéro précédent (*).

Quelle que soit la nature, réelle ou imaginaire, des tangentes menées par {x\y')^ la droite xx' -^yy' = r^ qui joint leurs points de contact est une droite réelle. On dit que cette

(*) Eu général, l'équation de la tangente à une courbe exprime une relation entre les coordonnées d'un point quelconque de la tangente et du point de contact. Pour trouver le point de contact de la tangente menée par un point donné, il suffit de considérer les coordonnées du point de contact comme coordonnées courantes dans l'équation de la tangente (en accentuant les coordonnées du point donné et en supprimant l'accent que portent les coordonnées du point de contact) ; on obtient ainsi une équation qui représente un lieu sur lequel se trouvent les points de contact^ et qui, par suite, rencontre la courbe au point de contact cherché. Ainsi, par exemple, quand l'équation xx'- -hyy'* = r* représente la tangente à une courbe en un point (j/,^'}» les points de contact des tangentes menées par un point quelconque {x', y') se trouvent sur la courbe scfx* -h y y* = f^- Ce n'est que dans le cas des courbes du deuxième degré que l'équation qui détermine les points de contact est de même forme que celle de la tangente.

DO CERGLfi. l39

droite est la />o/a{r^ du point (^^y) par rapport au cercle,

et que le point (x^, y') est lepôle de la droite xx' + JKJ^' = ^^«

La polaire est évidemment perpendiculaire à la droite

x^y — yx = o qui joint le point {x!^y) au centre du cercle,

et elle passe à une distance — de ce centre (n** 23).

\ \Jx'^-^y^ ^ ^

De là un procédé pour construire la polaire d'un point P;

joindrece point au centre C, et prendre sur PC un point M

tel que CM.CP = r^ ; la perpendiculaire élevée à PC en M

est la polaire cherchée.

L'équation de la polaire est de même forme que celle de la

tangente; elle n'en diffère que parce que le point {x^,y)j

dont elle renferme les coordonnées, n'est pas nécessairement

sur le cercle ; dans le cas où ce point s'y trouverait, elle serait

alors identique à l'équation de la tangente ; la polaire d^un

point du cercle est donc la tangente menée au cercle en ce

point.

89. Trouver l'équation de la polaire du point (x^^y) par rapport à la courbe

aa^ -\- 2 hxy H- by^ -+- 2 gx -h 2jy -h c =i: o.

L'équation de la tangente (n^86)

ax^x -h h (xfy -H y x) -h by y -+- ^(a?' 4- x) -^f(y 4- .y) H- c = o

exprime une relation entre les coordonnées a:,jK d'un point de la tangente et les coordonnées x'^y du point de contact. En donnant un accent aux coordonnées du premier de ces points, nous indiquerons que ces coordonnées sont connues ; en supprimant en même temps l'accent qui se trouve sur les coordonnées du deuxième point, nous exprimerons que ce point est inconnu. Cette opération ne change rien à l'équation, puisque celle-ci est symétrique en x et a?', y et y'.

L'équation rappelée ci-dessus, qui est celle de la tangente

i4o GHAFITRB VI.

en {x\y) lorsque le point (oc^^y) appartient à la courbe, représente donc, quand le point (x^^y) n'est plus sur la courbe, la droite menée parles points de contact des tangentes réelles ou imaginaires issues du point (x^y), ou, ce qui revient au même, la polaire de (x^^y).

Lorsqu'on remplace, dans l'équation de la polaire, ^,^par x'^y, on obtient le même résultat qu'en substituant j:',^ à Xyy dans l'équation de la courbe ; pour que le résultat de celte substitution soit nul, il faut donc que le point (o^, y') appartienne à la courbe. La polaire d'un point ne passe donc par ce point que lorsqu'il est situé sur la courbe ; et alors elle se confond avec la tangente.

Corollaire. — La polaire de Vorigine a pour équation

gx-^rfy-k-c = o.

Exercices.