Trouver le pôle de aa? -+- 3y = 6 par rapport au cercle

Réponse, ( — i ï > — 1 6 )•

90. Trouver la longueur de la tangente menée par un point quelconque au cercle {x — a)- + (r — ^ P)^ — r^ = o.

Le carré de la distance d'un point {x^y) au centre (a, 3) du cercle a pour valeur

et comme il est égal au carré de la longueur cherchée augmenté du carré du rayon, on trouvera le carré de la longueur de la tangente en substituant, dans le premier membre de Téquation du cercle

les coordonnées du point, par où elle est menée, aux coordonnées courantes.

En divisant par a l'équation générale

on peut (n? 80) la ramener à la forme

quand les coordonnées sont rectangulaires ; on obtiendra donc le carré de la tangente, menée par un point quelconque. au cercle dont l'équation est donnée sous la forme la plus générale, en divisant cette équation par le coefficient a de x^j et en y remplaçant les coordonnées courantes par les coordonnées du point donné.

Le carré de la tangente menée par l'origine s'obtient en faisant dans l'expression précédente x= o^y = o; il est donc égal au quotient du terme constant c par le coefficient a de x^.

li'à CHAPITRE VI.

Le même raisonnement s'appliquerait au cas des coordonnées obliques.

*91. Trouver le rapport suivant lequel la droite qui joint les deux points (x',y)j {xf^y) est divisée par un cercle donné.

Nous suivrons la marche indiquée au n® 42* Les coordonnées d'un point quelconque de la droite peuvent (n** 7) se mettre sous la forme

Ix" -\-mx' ly" -+- m r'

l-h ni l-^ m

et, en substituant ces valeurs dans l'équation du cercle

on trouve, toutes réductions faites, pour déterminer le rapport — ; l'équation du deuxième degré

P {x'^ ~hy* — / «) -H 2 /m {x' x" -h/y — r*)

Les valeurs de / : m qu'on en tire font connaître immédiatement les coordonnées des points où la droite rencontre le cercle. La symétrie de cette équation rend souvent cette méthode plus commode que celle indiquée au n^ 82.

Lorsque le point (^'^jr") appartient à la polaire de {x^y')^ on a ( n« 88)

et l'équation en / et m se décompose en deux facteurs /+ [jL/n, / — [jL/n. La droite menée par(:zr', v') et {xf' ^y") se trouve alors divisée intérieurement et extérieurement dans

DU GBRCLB. l43

le même rapport, d'où ce théorème connu : Toute droite menée par un point est divisée harmoniquement par le pointy le cercle et la polaire du point,

*92. Former V équation des tangentes menées par un point ( a?', y') à un cercle donné»

Nous avons déjà obtenu (n® 87) les coordonnées des points de contact; en portant successivement leurs valeurs dans Téquation xaf '\' y^ =■ r-^ on trouve pour les équations des deux tangentes

r {xa:' -h y-y — o!'^ — y*) 4- i^y' — y^') ^ a^'^ -h y'"^ — r^ = o y r i^xx^ — y y — a?'* — y^) — {xy — J^') y/^H-j^'* — r*=ro ;

et, en multipliant ces équations l'une par l'autre, on obtient l'équation des tangentes. Cette équation ne contient pas de radical, mais on peut la présenter sous une forme encore plus simple^ en s'appuyant sur les données du numéro précédent. L'équation qui détermine le rapport — a ses racines

égales lorsque la droite joignant les points (^',^), (^",J^') est tangente au cercle; pour que le point (^', ^') appartienne à l'une ou à l'autre des tangentes menées par (j;',^), il faut donc que ses coordonnées vérifient la relation

(a?" 4-7'*— r«) (^« -H j2 ^j) (^xx*-^yy — r«)S

qui peut dès lors être considérée comme l'équation des tangentes issues du point (a;',^'). Il est du reste facile de voir que cette équation est identique à celle qu'on obtient en multipliant les équations des deux tangentes.

Les méthodes indiquées dans ce numéro et le précédent s'appliquent également à l'équation générale. On a alors.

l44 CHAPITRE VI.

pour déterminer le rapport / : m, l'équation du deuxième degré

/' ( «a?''* H- ihx'y" 4- by"^ -4- 2gx" -h 2/7" -f- c) -f- a//n[(2;r'ic''-h A ix'y" -¥- x'y')

-\- m^{ax'^'^ ihx' y ^ by^-\- 2g3c^ -\- '^fy^-k- c) = o,

et de cette équation résulte, comme ci-dessus, que, si le point {^ tX') se trouve sur la polaire de (x' ^y), la droite joignant les points (^',^') {x" ^y' ) est divisée harmoniquement par la courbe, et que l'équation des tangentes menées par {oc' ^y) peut s'écrire

{ax'^ — ih x' y -- b y^ -^^ 1 g x' -\- if y 4- c )

X (aa:*-h ihxy-v- by^ -r- igx -\- 2fy-\- c)

= [ax'x-]-h{xy'^xy)-hbyy-^g(x-hx')-Y'/(y'i-y)-hc]\

93. Trouver l'équation du cercle passant par trois points donnés.

Il suffit de substituer successivement, dans F équation générale

j;t|.^j ^ 2^a?H- ^fy-^ czzzoy

les coordonnées de chacun des trois points, pour trouver trois équations qui déterminent les inconnues ^,y, c. On peui aussi obtenir l'équation cherchée en déterminant les coordonnées du centre et le rayon, commme au n® 5 (Ex. 5).

i. Trouver l* équation du cercle passant par les points (a, 3),

Réponse, [x 5-I "^(^"^ôj = — •( voir n© 5, Ex. 5.

DU GBKCLE. l45

2. Former l*éç nation du cercle passant par V origine et par ! et points (a, 3), (3^ 4)-

On a

d'où l'on tire

a^ = — 23, 2/= II.

3. Trouçer, en prenant les mêmes a^es qu'au n» 48 (Ex. 1). V équation du cercle passant par V origine et par les milieux des côtés CA, GB; montrer que ce cercle passe aussi par le milieu du côté.AB.

Réponse. 2/> (a:* -4- y') — ^{s — s)x-~ (/>» -+- ss^)y = o.

*94. Exprimer l'équation du cercle passant par les

trois points (^S^), (^Sy)) (^'Sy")» ^'^ fonction des coordonnées de ces points.

En substituant (n® 93), dans Péquation

les valeurs de g^ /, c tirées des relations

{x'^ -^y'^)-^igx' H- iff -f-c = o,

(O?^» 4- y« ) -+- 'Igx" -r 2/^^^ H- C m O,

(jc^* -f-y ) 4- a^or'^-^ iff-r-c — Q, on obtient pour l'équation cherchée ( * )

{x^ ^ y^)\x\f ^f^)-rx^'{r -y)^x^\y - f)\

( ' ) Les lecteurs, auxquels la notation des déterminants est familière, verront immédiatement comment on peut écrire l'équation de ce cercle sous forme de déterminant.

S. — Géom. à deux dim. lo

l46 CHAPITRE VI.

Pour éliminer g^ y, c entre les quatre premières équations, il suffit d'ajouter ces équations, après les avoir multipliées respectivement par les coefficients qui, dans Féquatîon écrite en dernier lieu, affectent les termes en [x^ ~^JK"). {x^^ H- y^)' . . ; la somme des facteurs de g est identiquement nulle, et il en est de même de la somme des facteurs de /et de c.

La condition pour que quatre points appartiennent à un même cercle s'obtient en remplaçant, dans l'équation précédente, les coordonnées courantes x^ y par les coordonnées ^4, j^4 du quatrième point. Cette condition peut s'interpréter géométriquement de la manière suivante : Lorsque quatre points' A, B, C et D sont situés sur un même cercle, on a, en désignant par O un cinquième point quelconque pris dans le plan de ce cercle, et par ABC, ACD. . . les aires des triangles ABC, ACD .. .

Oâ'.BCD -hÔC'.ABD =:Ôb\aCD -hÔd'.ABG.