Équation polaire du cercle
On peut trouver l'équation polaire du cercle en remplaçant X el y par pcosO, psin6(n® 12), dans l'une ou l'autre des équations connues
rt (a?* -i- ^*) H- 2^a? -H 'ify -h c = o, (^ — a)* -h (7 — p)' = r' ;
mais on peut aussi l'obtenir directement en partant de la définition même du cercle.
Soient en eflFet O le pôle {fig* 4o), C le centre du cercle,
Fig. 4o.
OC l'axe fixe, r le rayon et d la distance OC. Menons un
ou GKRGLB. l47
rayon vecleur OP et joignons PC; on a
PC* i=ÔP* -hÔC' - 2OP.OC cosPOC,
ou, en faisant OP = p, rOC = ô,
r*=: p' -hcP — Qp^cosO;
ce qui donne, pour Péquation polaire du cercle,
p* — 2p<icos6 -f- ûP — r* = o.
Lorsque le pôle est sur le cercle, on a r^ = ûP, et l'équation se réduit à la forme plus simple
p = 2 r ces 6.
On aurait pu arriver immédiatement à ce résultat, soit en observant que l'angle inscrit dans une demi-circonférence est droit, soit en remplaçante ^^y^ P^^ leurs valeurs en coordonnées polaires, dans l'équation (n® 79)
j?' -h ^* = 2 rx.
Lorsque l'axe fixe ne coïncide pas avec OC, mais fait avec celte droite un angle a, on trouve (n® 44) pour l'équation du cercle
p* — 2pûfcos(6 — a)-^û?* — r' =0.
r48 CHAPITRE VII.
96. Dans le Chapitre précédent, nous avons fait voir comment on pouvait former les équations du cercle et celles des lignes les plus remarquables qui s'y rapportent; dans celuici, nous chercheions à faire ressortir par des exemples la signification de ces équations, en les appliquant à la démonstration de quelques-unes des propriétés les plus importantes du cercle.
Nous engageons le lecteur à reprendre auparavant F examen des lieux géométriques qui font l'objet des exercices du n*^ 49- Lorsque ces lieux seront des cercles, il en reconnaîtra la position soit en cherc liant leurs centres et leurs rajons {n? 80), soit en déterminant les points où ils rencontrent les axes (n"" 84).
Les Exercices suivants se rapportent au même genre de questions.
Ezercicei.
1. Dans un triangle A6G^ on donne la base AB et l'angle AGB qui lui est opposé ; trouver le lieu du sommet G.
Soient sf ^ y \ tiil' ^ y* les coordonnées des extrémités de la base, et G l'angle donné. L'équation du côté AG étant
y—y = m{x~a/), celle du côté BG, qui fait avec lui un angle G, sera (n» 83)
(i -MntangC)(^— y) = (iw— tangG) (ar-- ^0;
THÉORàMES BT PaOBLÂMES SUR LB CBRGLE. l49
et, en éliminant m, on trouve pour l'équation du lieu
langC [(jr-/) (jr -^) -^ (^ - ar') (^ - ^)]
-4- x(y —y) —y (ar' — a?*) -h x'y' —yx' = o.
Lorsque Tangle G «st droit, Téquation du c6té BG prend la forme
f^ (y —y) -H (a? — a;*) = o, el on a pour le lieu
iy-'y)(y --y'')-^{s: — x'){x — x') = o.
?. On donne la base d'un triangle et l'angle qui lui ^*l opposé; trouver le lieu des intersections des hauteurs dit
triangle.
Conservons les mêmes notations; )es équations des hauteurs sont
m (y —y) -^{x — sf) = Oy (m — tangG)(^ — y)-^ (* ^~ /ntangG)(a? — x) = o,
el, en éliminant m, on trouve pour Téquation du lieu
tSingC (y—y)(y—y)^{x — x')(sp-'a^)] = ^{y—y) —y{x^ — af)-h x'y' —y si!'.
Cette équation ne diffère de celle de TËxercice précédent que par le signe de tangG; c'est celle qu'on trouverait si Ton cherchait le lieu des sommets correspondant à un angle AGB supplémentaire du premier, la base ÀB restant la même.
3. On donne un certain nombre de points (a/,jr'), (a?',jr'), > . .^et l'on détermine un point (x,y) tel, qu'en ajoutant m' fois le carré de ta distance r' au point {scf^y^ m' fois le carré de sa distance ^ A (sf^y), . . ., on obtienne une somme constante; autrement dit, et en adoptant la notation du n^ 50 (Ex. 4), tel que ISmr* soit une constante c\ trouver le lieu des points (sp,y).
Le carré de la distance du point (x^y) au point (a/,^) a pour ▼aleur
Maltipliant ce carré par m'y et ajoutant ce produit aux produits correspondants obtenus pour la distance de {3P,y) aux autres points
l5o CHAPITRE YII.
(a:*, y), (x'^y"),. . ., on trouve pour l'équation du lieu
S(/n)a?»-f- 2(m)72— •22(miF')a? — aZ(my')y
Ce lieu est un cercle dont le centre a pour coordonnées
et se confond avec le point que nous avons appelé centre des distances proportionnelles (n^ 50, Ex. 4).
On a, du reste, pour déterminer la valeur du rayon R de ce cercle la relation
R«Z(/n) = £(mr>) — S(/np2),
dans laquelle p représente la distance d'un point quelconque du système au centre des distances proportionnelles, et, par suite, ^{mp^) la somme de m' fois le carré de la distance de ce centre au premier point, etc.
4. Par un point O on mène successivement, à chacun des côtés a, 6, c cPun triangle, des parallèles qui coupent les autres côtés enBf G; G', A'; A', B" ; trouver le lieu des points O tels que la somme des rectangles
