BO.OG + G'O.OA' -+- A'O.OB
soit constante et égale à /n>.
Si l'on prend les deux côtés a et 6 du triangle pour axes, on a pour l'équation du lieu
oUy en désignant par G l'angle compris entre a et 6,
x'^ -^ y^ -jf % osy cos C — ax — 6^ -4- /n* = o.
Ge lieu est un cercle concentrique au cercle circonscrit : les coo données a et ^ du centre sont données par les équations
a(a-i- pcosG) = a, 2(P-i- acosG) = 6,
qui permettent de trouver le lieu des centres des cercles circonscrits,
THÉORÈMES ET PROBLEMES SUR LE CERCLL. l5l
lorsque deux des côtés du triangle sont donnés de position, et que leurs longueurs sont assujetties à une relation délerminée.
5. La droite qui joint le point O à un point fixe A détermine, sur Veuve des x, un segment égal à^ celui que détermine sur Vaxc des y la perpendiculaire menée par le point O à la droite OA ; trouver le lieu des points O.
6. On joint un point 0 aux sommets A, B, G d^un triangle, puis on mène par les sommets A, B, G des perpendiculaires aux droites OA, OB, OG ; trouver le lieu des points 0, tel que ces perpendiculaires se coupent en un même point,
97. Les exercices suivants se rapportent au problème du II* 82 : trouver les coordonnées des points où une droite rencontre un cercle.
Exercices.
1. Trouver le lieu des milieux des cordes menées dans un cercle parallèlement à une droite donnée.
Soit xcoscL-^ysinoL — p == o Téquation d'une de ces cordes : aest donné par hypothèse, et/> est indéterminé. Les abscisses des points où cette droite rencontre le cercle sont les racines or' et ^ de l'équation (n»82)
x^ — "^px cosa-r-p' — r* sin* a — o,
ce qui donne pour l'abscisse du milieu de la corde - (x' -\- af)(n^l)y
ou, d'après la théorie des équations, pcosct. On trouverait de même /=/>sina pour Fordonnée du milieu de la corde. L'équation du lieu est donc^ = x tanga : c'est celle de la perpendiculaire abaissée du centre sur la direction donnée.
2. Former la condition pour que le segment déterminé par le cercle x*-hy^ = r' sur la droite x cosot -\- y sin cl — p = o soit vu du point i^^^y*) sous un angle droit.
Les droites qui joignent le point {x\y') aux points {(ff^y) et (x'^y") sont perpendiculaires, lorsque les coordonnées de ces points vérifient la relation (n» 96, Ex. 1 )
l'^a CHAPITRE VU.
Soient (a?^,y)(a?*,^*) les points où la droite donnée rencontre te cercle ; on a, d'après l'Exercice précédent,
a?" -h a?" — a/? cos a, x' x" ~ p^ — r* sin* a y -h^* = a/> sina, y^y'^p^ — r*cos*a,
et^ en portant ces valeurs dans Téquation ci-dessus, on trouve» pour la condition cherchée,
ar'j -f-^'* — a/> a?' cos a — ipy sin a -h a/>' — r* = o.
3. Trousser le lieu des milieux des cordes quisont vues sous un angle droit d'un point donné {a/, y).
En désignant par â? et ^ les coordonnées du milieu de j'une des cordes, on a (Ex. 1)
p cos a = a?, /? sin a = ^, jd« = a?» -+- y*,
et, en substituant ces valeurs dans la condition trouvée plus haut, il vient
4. On donne une droite MN et un cercle; trouver un point O tel, qu'en menant par ce point une corde AB, le produit des distances A M, BN des extrémités X, B de la corde à la droite MN soit constant.
Prenons MN pour axe des x et la perpendiculaire menée à MN par le centre du cercle pour axe des y\ soient en outre x' et y les coordonnées du point cherché O.
On aura pour l'équation du cercle
et pour réquation d'une corde quelconque
en éliminant x entre ces deux équations, on trouve, pour déterminer y, une équation du deuxième degré dont le produit des racines a pour valeur
pour que ce produit, qui est égal à AM.BN, soit constant, il faut
TIIÉORàHBS BT PROBLàMES SUR LE CERCLE* l53
qa'il soit indépendant de m ; ce qui ne peut arriver que si le numérateur est divisible par i h- m', et alors x' = o, y* = p* — r*.
5. Former la condition pour que le segment déterminé sur la droite x cosa -f-^ sina — /> = o par le cercle
soit vu de l'origine sous un angle droit.
L'équation des droites qui joignent l'origine aux extrémités de ce segment peut s'obtenir en multipliant les termes du deuxième ilegré de l'équation du cercle par/>*, ceux du premier degré par /?(3rcosa-h^sina), et le terme constant par (a? cosa -h ^sin a)*; en effet, l'équation à laquelle on arrive est homogène en a7et^(no 72), et elle est vérifiée par les points du cercle qui se trouvent sur la corde arcos«-+~^sina — p = o. Cette équation , développée et ordonnée, devient
(p* -^Oigp cosa -i- c cos' a) a?*
-f- 2(^/> sina-4-^cosa-+-csinacosa)a?^
(/?'-f- 2^sina-+-csin*a)^* = o,
et les deux droites sont perpendiculaires lorsque ( n» 74 )
a/?* ->r ^p (g cosa -4-/sina) + c = o.
6. Onetbaisse de l'origine des perpendiculaires sur les cordes qui sont vues de cette origine sous un angle droit; trouver le lieu des pieds de ces perpendiculaires.
L'équation en /? et a, à laquelle nous sommes arrivés dans l'Exemple précédent, représente le lieu cherché en coordonnées polaires; transformée en coordonnées rectangulaires, elle devient
a (a?» -^-y^) -f- 2 gx -i- ify i- c = o,
et il est facile de voir qu'elle représente le même cercle que l'équation de l'Exemple 3.
7. Par un point fixe P, pris sur le diamètre AB d'un cercle, on trace une corde quelconque, et enjoint les extrémités M et ^ de cette corde à l'extrémité A du diamètre : les droites A M, AN déterminent f sur la tangente menée au cercle par Vautre extrémité B du diamètre, deux segments dont le rectangle est constant.
l54 CHAPITRE Vil.
Prenons le point A pour origine, le diamètre AB pour axe des r^ et soient x\o les coordonnées. du point P. On aura, pour l'équation du cercle, x*-r-y* — 2ra7 = o, et pour Téquation de MN, y = Tn{x — x'). En formant, comme il a été indiqué à l'Exemple 5, réquation des droites AM, AN, et en y faisant a? = 2 r, on obtiendra une équation du deuxième degré qui aura pour racines les segments déterminés sur la tangente en B par les droites AM, AN. Le produit
de ces racines, qui a pour valeur 4 r* — --, — jest indépendant de m.
98. On peut déduire des équations du n® 88 un certain nombre de propriétés des pôles et des polaires.
Lorsqu!un point A, (j;', y')^ est situé sur la polaire de B, le point B, \x"^ y'), se trousse sur la polaire de A.
Pour que {x'^y') appartienne à la polaire de (^",^"j, il faut, en effet, que Ton ait j/a:" -^y'y" ^= r''y et cette condition exprime aussi que le point {x'\ y") se trouve sur la polaire de (x'\y). Le même raisonnement s'applique à l'équation générale (n® 89), et il est facile de voir qu'en remplaçant, dans l'équation de la polaire de {x'j y), les coordonnées courantes par af et^^', on obtient le même résultat qu'en substituant x' et y aux coordonnées courantes dans l'équation de la polaire de {x'\y"). On énonce quelquefois ce théorème ainsi qu'il suit : Le lieu des points B, dont les polaires passent par un point fixe A, est la polaire du point fixe A.
Ce théorème et les suivants sont vrais pour toutes les courbes du deuxième degré.
99. Etant donnés un cercle et un triangle ABC, si l'on prend par rapport au cercle les polaires de A, B, C, on forme un nouveau triangle A'B'C, qui est le triangle polaire réciproque, ou plus simplement, le triangle polaire de ABC, et dans lequel A', B' et C sont respectivement les pôles de BC, CA et AB. Dans le cas particulier où les polaires d£ A, B, C sont respectivement BC, CA, AB, le second
THBORBMBS BT PROBLEMES SUR LE CERCLE. l5î>
iriangle se confond avec le premier, auquel on donne alors le nom de triangle autopolaire (* ).
Les droites AA!^ BB', CC, qui joignent les sommets d'un triangle à ceux de son triangle polaire, se coupent en un même point.
Soient (^,y), (^',yO» (^'SyO les sommets A, B, C du premier triangle : Téquation de la droite AA' qui joint le point A à l'intersection de3 polaires de B et de C, autrement dit, qui joint le point (a?', y) à l'intersection de xaf -hx/' — r* = o, et de xx^^^ + //'' — r* = o, peut s'écrire (n» 40, Ex. 3)
(x'x" -\-yf — r'){xx'' -hyy" — r^)
— {x'x'' -\-yy — r*) {xx" -\-yy — r*) = o;
on a de même, pour les équations de BB' et CC,
{x'x'-i-yy — r*) {xx"' -\-yf — r»)
— {^af x'' ■^- y y — r«) {xx' -\-yy — /•*) = o, {x'x^ -^yy — r*) [xx' -hyy — r*)
— {x'x^ -^yy — r*) (xx" -^yy — /•«) =z o,
et il est facile de voir, en se reportant au n^ 41, que ces trois droites se coupent en un même point.
On peut également démontrer ce théorème en partant de Péquation générale. Représentons, pour abréger, par P| = o la polaire axx' -h h {xy' -\-yx') + . . . = o (n® 89) de (a;', y' )^ par Pa, Pj les polaires de {xf'^y)^ {^"'>y")\ représentons en outre par le symbole ( i . 2 ) le résultat
{ax^x^ -h h {x^y -\-yx') -I- .... ]
C) On appelle quelquefois ce triangle, triangle polaire ou triangle conjugué: c'est à la fois pour éviter une confusion et pour conserver l'heureuse symétrie de Texpression anglaise {conjugate, tel f -conjugale), que nous Tavons appelé triangle autopolaire.
l56 CHAPITRE VII.
obtenu en remplaçant dans Téquation de la polaire de ( j/,/'), les coordonnées courantes par x^ et y , Les droites AA', BB', ce ont alors pour équation
(i.a)P,= (2.3)P„ (a.3)Pi=(i.3)P,;
et il est évident (n®41) qu'elles se coupent en un même point. Il s^ensuit (n®60, Ex. 3) que les intersections des côtés correspondants du triangle et de son triangle polaire se trouvent en ligne droite.
Le théorème suivant n'est qu'un cas particulier de celui que nous venons de démontrer :
Dans tout triangle circonscrit à un cercle, les droites qui joignent le point de contact de chaque côté açec le sommet opposé se coupent en un même point,
100. On Joint deux à deux, directement et transitersalement j les points oà deux droites fixes issues d'un point O rencontrent un cercle ; la droite PQ, menée par l'intersection P des droites directes, et par l'intersection Q des droites transverses, est la polaire du point O.
Prenons les deux droites fixes pour axes, et soient X, X^ }jb et ^ les segments que le cercle détermine sur ces droites. On a alors pour les équations des lignes directes
et pour celles des droites transverses
À UL Au,'
rHBORÂMEB BT PEOBLàlIBS BUR LB CERCLE. l5y
Quant à l'équation de la ligne PQ, elle peut s'écrire
A a' (il J*,'
puisque {n? 40) la droite PQ passe par l'intersection des droites directes, et par l'intersection des droites transverses. Lorsque l'équation du cercle est donnée sous la forme
oj?" •+- a ha:j^ -+- by^ -h '^gx H-- ify h- c z= o,
X et a' sont les racines de ûwî* H- ^gx + c = o (n® 84), et l'on a
on a de même
et en portant ces valeurs dans l'équation de PQ, elle devient
gx->^fy^c—o\
la droite PQ est donc la polaire de l'origine O (n® 89). Lorsque, le point O restant fixe, on fait varier la position des deux droites, le lieu des points P et Q est la polaire du point O.
101. Étant donnés deux points quelconques A, et B, on prend leurs polaires par rapport à un cercle dont le centre est O, et on mesure les distances AP et BQ de chacun de ces points à la polaire de l'autre. Démontrer que l'on a la relation
