Il est souvent plus commode, pour étudier certaines
questions relatives au cercle, de définir la position des points
du cercle au moyen d'une seule variable indépendante, que
de la fixer par deux coordonnées œ^ et y. Lorsqu'on désigne
par 0' l'angle que le rayon aboutissant au point (^', y) fait
avec Taxe des ^, on a, en prenant le centre du cercle pour
origine,
a?'i=: rcosô', y = r8in8',
et l'on peut simplifier un certain nombre de formules, en y
remplaçant x' et y par ces valeurs.
L'équation de la tangente en un point {x\y) prend ainsi
la forme
iccosô' -h^sinô' = r,
et celle de la corde joignant les points {x',y)^ (x"^ y), qui est (n« 86)
x{x^ 4-^") -f-/(y -^y)=^r* -{' x'x'^ -^yy,
devient
â? cos- ( 6' 4- 6'' ) -h 7 sin- ( 6' -h 6^) — r cos- ( 6' — 6'),
THiORBMES ET PROBLEMES SUR LE CERCLE. l5ij
fl et 0" étant les angles que font avec l'axe des x les rayons menés aux extrémités de la corde.
Cette équation aurait pu se déduire directement de F équation générale de la ligne droite (n* 23) x cosa -f-^ sina = />, en observant que l'angle compris entre l'axe des x et la perpendiculaire à la corde est égal à la demi-somme des angles formés avec le même axe par les rayons menés aux extrémités de la corde, et que la longueur de cette perpendiculaire est égale à
rcôsi(e' — ô*').
EzercicM.
1. Trouver les coordonnées de l'intersection des tangentes menées au cercle en deux points donnés 6' et^'.
Les tangentes étant définies par les équations
X cos6' -\-y sinO' = r, x cosô'-f-^ sin6' = r, on a pour les coordonnées de leur intersection
cosi(e'-+-eo sinice'-f-e")
cosi(6' — 6') sini(6' — 6')
2. Trouver le lieu décrit par V intersection des tangentes menées aux extrémités des cordes de longueur constante.
£q effectuant la substitution indiquée plus haut dans Téquation
on trouve
cos (6' — 6') = consl, ou 6' — 6' = const.
Lorsqu'on donne la longueur de la corde 2rsin$, on a 6' — 6' = 28, et les coordonnées trouvées à TExercice précédent satisfont à la relation
(a?* + y* ) cos* 8 = r*. .
l6o CHAPITRE VII.
3. Quel est le lieu des points qui divisent d ms un rapport donné les cordes de longueur constante?
En écrivant ( n» 7 ) les valeurs des coordonnées de Tun de ces points, on voit qu'elles satisfont à la relation
a?2}yî = const.
103. Nous avons vu que la tangente au cercle x^ + j* = /* a pour équation
œ cos6 -h y sin 6 = r ; on verrait de même que celle de la tangente au cercle
peut s'écrire
(x — a) cosô -h ( j — p)skiÔ=:r.
Réciproquement, toute droite, dont Téquaticn renferme une indéterminée 0 sous la forme
{x — a) cosô -h ( J' — P) sin6 = r,
est tangente au cercle {x — a)- -\-{y — 3)- = r^»
Ezercioes,
!. Toutes les cordes de longueur constante appartenant à. un mente cercle sont tangentes à un autre cercle.
En effet, dans l'équation de Tune quelconque de ces cordes^
a?cosi (0' -+- 6') -+-^sini (6' -î- 6') = rcosi(e' — 6'), .
Tangle (6' — 6") = aS est connu, et Tangle (6' -h 0') est indéterminé : cette corde est donc tangente au cercle a?* -f-^* = r* cos'8.
2. On donne un certain nombre de points fixes (^,y){x'^y). . . et un même nombre de facteurs constants m', m", ... ; puis on détermine une droite par la condition que la somme des produits obtenus, en multipliant successivement chacune de ses distances aux points fixes par le facteur correspondant, soit égale à une
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LE CERCLE. l6l
quantité donnée. Démontrer que cette droite est tangente à un cercle fixe, /
Cet énoncé ne diffère de celui du n<» 50 (Ex. 4) qu'en ce que la somme est constante au lieu d'être nulle; en employant les mêmes notations, on trouve, pour Téquation de la droite,
[a?2( /») — S(ina?')] cosa-f- \yY,{jn) — 21(/ny)j sina = const. Cette droite est constamment tangente au cercle
qui a pour centre, le centre des distances proportionnelles du système des points donnés.
104. Nous terminerons ce Chapitre par quelques problèmes relatifs à l'emploi des coordonnées polaires.
Exerciceg.
1. Par un point fi^e 0, on mène une droite quelconque OPP' çui rencontre un cercle C enP etP'] démontrer que le rectangle OP.OP' est constant.
Prenons le point fixe 0 pour pôle, et soit
p' — 2prfcos6 -h t^ — r^ = o
réquation du cercle (n» 95); les racines de cette équation ne sont autre chose que les valeurs OP, OP' des rayons vecteurs correspondant à une valeur donnée de 0.
D'après la théorie des équations, on a OP.OP' = d^ ~ r^; et comme d^ — /•' est indépendant de 6, il s'ensuit que le rectangle OP.OP' est constant, quelle que soit la direction de la sécante. Quand le point O • est en dehors du cercle, le rectangle devient égal au carré de la tangente (<i* - r').
Le produit constant OP.OP' porte, d'après Steiner, le nom de puissance du point 0 par rapport au cercle G.
2. Par un point fixe O {fig, 41 ), on mène à un cercle une sécante OPP' sur laquelle on prend une longueur OQ égale à la moyenne arithmétique des segments OP. OP' ; trouver le lieu des points Q.
S. — Geom, à deux dinim 1 1
r62 CHAPITRE VII.
L'équation du deuxième degré de l'exemple précédent donne OP -4 OP' = ?.<icos6; et comme, d'après l'énoncé,
OP -f- OF = a OQ = p,
on a, pour l'équation polaire du lieu^
p = rfcosô.
Cette équation représente un cercle décrit sur OG comme diamètre.
Le problème que nous venons de résoudre aurait pu s'énoncer ainsi : Trouver le lieu des milieux des cordes qui passent par un point fixe,
