On prend pour 0Q(^^. 41) la moyenne harmonique
Fig. 4i.
des segments OP et OP' ; trouver le lieu des points Q.
On a alors, par hypothèse, OQ — ^^ — TÎV" ^^^ ^^ remplaçant
OP -H OP' et OP.OP' par leurs valeurs 2c?cosO, rf* — r*, il vient pour l'équation polaire du lieu
9'-^ j^^.a ûu pcosO:.. ■ ;
t/cosÔ
{*) Quand on a n points a, 6, c,. .. en ligne droite, si l'on prend sur la même ligne un point m, tel que la valeur inverse de sa distance O/n, à un point déterminé G de la droite, soit égale à la moyenne arithmétique entre les valeurs inverses jes distances O a, 06, Oc, ... des points a, 6, c,. . . au même point O, c'est-à-dire de manière que Ton ait, en grandeur et en signe,
Cm Oa Ob Oc
on dit, d'après Maclaurin, que la distance O/n est la moyenne harmonique des distances Oa, 06, Oc,. .., et, d'après Poncelet, que le point m est le centre des moyennes harmoniques des points a, b,Cf,. , . [ Voir Ghasles* Géométrie supérieure, a* édition, p. ^i.)
THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LE CERCLE. l63
cette équation représente une droite (n^ 44) perpendiculaire à OC, passant à une distance d — -j^u point O, et, par suite, à une dis-
tance — du centre C du cercle. Le lieu des points Q est donc (n» 88)
\^ polaire du point O.
On peut aussi résoudre cette question et d'autres semblables en partant de Féquation générale du cercle (n<*80)
a (a?» -4-^*) H- a ^a? -h 'àfy -4- c = o.
Transformée en coordonnées polaires, cette équation prend la forme
p* -f- 2 ( - cos6 + î^sinB ) p -f- - ^ \a a I ^ a
et, en opérant comme ci-dessus, on trouve, pour Téquation polaire du Heu des moyennes harmoniques.
~ ^cos6H-/sinô
En revenant aux coordonnées primitives, cette équation devient
c'est celle que nous avons obtenue précédemment (no89) pour la polaire de Torigine.
4. Étant donnés un point O et une droite PM, on prend sur le rayon vecteur OP de la droite une longueur OQ inverse de celle du rayon vecteur; trouver le lieu des points Q. Même problème en remplaçant la droite PM par un cercle.
5. Dans un triangle, on donne un sommet, Vangle Q à ce commet et le rectangle k* des côtés qui le comprennent ; le deuxième som,met glisse sur une droite ou sur un cercle; trouver le lieu du troisième sommet,
Prenons le sommet fixe pour pôle, et désignons par p et p' les côtés de l'angle donné , par 0 et 0' les angles que ces côtés font avec Taxe fixe, on a
pp' = k\ 0 - 6' = G.
En écrivant l'équation polaire du lieu que décrit le deuxième
l6i CHAPITRE Vil.
sommet, on obtiendra une relation entre p et 0 ; et, en y remplaçant
p et 6 par -7 et (6' -h G), on aura entre p' et 6' une relation qui sera
Téquation du lieu décrit par le troisième sommet.
On résoudrait le problème de la même manière, si on donnait le rapport des côtés au lieu de leur rectangle.
6. Par l'intersection de deux cercles, on mène une droite quelconque et on prend le milieu Q du segment que les cercles déterminent sur cette droite; trouver le lieu des points Q.
Les équations des cercles pouvant se mettre sous la forme
p = arcos(0 — a), p = ar'cos(6 — a'),
on a pour l'équation du lieu
p = r cos (6 — a) 4- r' cos (6 — a'), qui représente aussi un cercle.
7. Par un point O pris sur un cercle donné, on mène trots cordes quelconques, et sur chacune d'elles, comme diamètre, on décrit un cercle. Les trois cercles ainsi obtenus, qui passent évidemment en O, se coupent en trois autres points qui sont en ligne droite ( * ).
Prenons le point fixe pour pôle, et le diamètre mené par ce point fixe pour axe. Soit d le diamètre du cercle donné ; soient, en outre, a, p, Y les angles compris entre chacune des cordes et Taxe polaire. L'équation du cercle donné pourra s'écrire (n<>95)
p = dcos^.
Le diamètre du cercle construit sur la première corde sera </ cos a, et l'on aura pour Téquation du cercle correspondant
p = 6? cos a. cos (6 — a).
On aura de même, pour Téquation du cercle construit sur la deuxième corde,
p = ^cosp.cos(ô — P).
Les coordonnées polaires de l'intersection de ces deux cercles
( ' ) Cambridge Mathematical Journal, vol. I, p. 169.
THEORÊIIBS ET PROBLÂMBS SUE LE CERCLE. l66
s'obtiendront en cherchant la valeur de 6 qui satisfait à la relation
cosacos(0 — a) = cosPcos(6 — P),
et qui est évidemment 6 = a + P ; la valeur correspondante de p sera
p = d cos a cos p.
On trouverait de même, pour les coordonnées polaires de l'intersection des cercles construits sur la première et sur la troisième corde,
B = a-4-Yî p = rfcosacosY.
L'équation polaire de la droite qui joint les deux points, dont on vient de trouver les coordonnées, s'obtiendra en substituant ces valeurs de p et de 0 dans Téquation générale p cos (A: — 0)=/' (no 44).On a ainsi, pour déterminer /> et k, les deux équations
p = éicosacosPcos[^ — (a-i- p)] = c;^ cos a cos ^ cos [A: — («-n'y)];
d'où
^ = a-+-P-l-Y, jD = rfcosacospcos*)f.
La symétrie de ces valeurs montre que cette droite passe aussi pai le point d'intersection des cercles construits sur la deuxième et sur la troisième corde.
l66 CHAPITRE VHI.
