GRAND NOMBRE DB CERCLES

105. Trouver V équation de la corde d'intersection de deux cercles .• S = o, S' = o.

L'équation S + A:S' = o représente un Heu passant par les points d'intersection des deux cercles S et S' (n** 40) ; ce lieu est en général un cercle, comme on peut le voir en substituant aux abréviations S et S' les équations équivalentes

et en observant que S + A:S' ne renferme pas de terme en ^yi ^^ qu^ ses termes en x^ et y^ ont même coefficient.

Il y cependant un cas particulier où ce lieu est une ligne droite, c'est celui où /: = — i . Dans ce cas , les termes du deuxième degré disparaissent, et l'équation S4-^S'=o, qui devient

représente alors la droite menée par les points d'intersection des deux cercles.

On peut encore énoncer ces résultats de la manière suivante (n® 50) : Tout cercle dont l'équation contient une indé-

terminée k au premier degré, et peut, par suite, se mettre sous la forme S -:- ArS' r= o, passe par deux points fixes, qui sont les points d'intersection des deux cercles S et S'.

406. Les points communs aux deux cercles S et S' s'obtiennent en cherchant, comme il a été dit au n- 82, les points où la droite S — S' rencontre l'un ou l'autre des cercles donnés. Ces points peuvent être réels, coïncidents ou imaginaires, suivant la nature des racines de l'équation qui sert à les déterminer ; mais il y a lieu de remarquer que l'équation de la corde d'intersection, S — S' = o, représente toujours une droite réelle, et que les propriétés importantes dont rette droite jouit par rapport aux deux cercles ne cessent pas d'exister, alors môme que les deux points qui la définissent deviennent imaginaires (n"82).

On donne habituellement (*) à la droite S — S' le nom A'' axe radical des deux cercles ; cette dénomination est préférable à celle de corde dUntersectioriy qui peut paraître singulière lorsque, géométriquement, les cercles ne se rencontrent pas.

107. Le résultat que l'on obtient en remplaçant, dans l'équation d'un cercle S = o, les coordonnées courantes par les coordonnées ^ et^ d'un point quelconque, représente le carré de la tangente menée au cercle S par le point {oc^y ) (n° 90); l'équation S — S' =r o de l'axe radical des deux cercles S = o, S' =:^ o exprime donc que :

Les tangentes menées à deux cercles par un point de leur axe radical sont égales.

Cette propriété de l'axe radical S — S' est indépendante

(*) D'après Gaultier (de Tours), Journal de l'École Polytechniquey Cahier XVI, i8i3.

l68 CHAPITRE VIII.

de la nature des points d'intersection des deux cercles ; elle permet de le construire géométriquement lorsque ces points sont imaginaires : il est facile de voir en effet, en partant de cette propriété, que Taxe radical est perpendiculaire à la ligne des centres, et qu'il divise cette ligne en deux segments tels, que la différence de leurs carrés est égale à la différence des carrés des rayons des cercles.

Le lieu du point tel que les tangentes menées de ce point à deux cercles S =r= o, S' = o soient dans un rapport donné k a pour équation S — A:' S' = o ( n** 90 ) ; c'est un cercle ( n** 1 03 ) qui passe par les points d'intersection, réels ou imaginaires, de S et de S'. Quand les cercles S et S' ne se coupent pas réellement, on définit la situation de S — k^ S', par rapport à S et S', en disant que ces trois cercles ont même axe radical.

Exercice.

Trouver les coordonnées du centre et le rayon du cercle A:S-f-/S'.

Le centre a pour coordonnées — -, j- y — Ç f- , et par suite

divise, dans le rapport k: /, la droite joignant les centres de S et

de S'. Quant au rayon r', il est donné par récjuation

{k -^ 0' '•'* = ( A: -f- /) {kr^ -4- /r'«) — A:/D«,

où D représente la distance des centres de S et de S'.

108. Les axes radicaux de trois cercles S, S' e^ S", considérés deux à deux^ concourent en un même point qu'on appelle centre radical des trois cercles.

Ces axes radicaux ont respectivement pour équation

ils se coupent donc en im même point (n® 40). Ce théorème conduit au suivant :

DBS SYSTÂMES DE CERCLES. 169

Les cordes d^ intersection d'un cercle fixe C, avec tous les cercles O, 0<, Oa,.-- qu'on peut mener par deux points donnés AB, passent par un point fixe.

Considérons, en particulier, les cercles O, 0| et C; les cercles O et Oj ayant AB pour axe radical, la corde d'intersection de O avec G et celle de 0| avec G doivent, d'après le théorème précédent, se rencontrer en un point de AB; les cordes d'intersection du cercle G avec les cercles 0, 0« , Oo, . . . passent donc toutes par un point fixe situé sur AB.

Exercices.