Trouver le centre radical des trois cercles
Réponse. (--L,^j.
* 109. Le système formé par des cercles ayant le même axe radical, c'est-à-dire passant par deux points fixes, jouit de plusieurs propriétés remarquables qu'il est facile de démontrer en choisissant convenablement les axes coordonnés. En prenant pour axe des y l'axe radical commun et pour axe <les X la ligne des centres, l'équation de l'un quelconque des cercles du système pourra s'écrire
X* -hy^ — 2 kx ±: S' = o,
3^ étant constant pour tous les cercles du système, k variant avec chacun d'eux. En effet, le cercle représenté par cette équation a son centre sur l'axe des x (n* 80), à une distance variable k de l'origine, et coupe l'axe des y en deux points
fixes donnés par ]a relation jk^ ±: S* :^ o, qui est indépendante de k\ ces points sont réels ou imaginaires, suivant que §* a le signe — ou le signe -h .
* 110. Les polaires d'un point (^',/'), par rapport à un système de cercles ayant même axe radical^ passent par un point fixe,
La polaire de (j?',j^'), par rapport à l'un quelconque des cercles du système x^-\' y^ — 2A::c + B^ = o, est définie ( n* 89 ) par Téquation
xx' ~\- yy' — A: (^ -h a?' ) -h 8* = 0,
qui renferme l'indéterminée k au premier degré ; cette polaire passe donc par un point fixe, qui se trouve à l'intersection des droites xx' -^ryy' -I- 5^ = o et a: 4- x' = o.
* 111. On peut toujours trouver deux points dont les polaires, par rapport à un système de cercles ayant le même axe radical, soient des droites fixes.
Pour que la polaire d'un point {x'^y') soit fixe, il faut que son équation soit indépendante de A", ce qui ne peut arriver que si les équations xx' -^yy' -4- â^ = o et j; -j- ./;' = o représentent la même droite. La polaire est alors définie par l'une ou l'autre de ces équations, et les coordonnées x' ely' du pôle satisfont aux relations
y' — o, a?'* 1= 8« ou x' —.±1.
Les deux points cherchés sont donc situés sur la ligne des centres des cercles du système, de chaque côté et à égale distance de l'axe radical commun : ils sont réels quand les deux points communs à tous les cercles sont imaginaires, et imaginaires dans le cas contraire. Ces points jouissent de plusieurs propriétés importantes dans la théorie des systèmes
DBS 8TSTÂMES DE CERCLES. I7I
de cercles ayant le même axe radical ; la polaire de l'un, prise par rapport à un quelconque des cercles, passe par Tautre^ et coupe la ligne des centres sous un angle droit. L'équation générale des cercles étant de la forme
ne peut représenter un cercle réel que dans le cas où k^ est supérieur à 5^ j lorsque k^ devient égal à 8^, le rayon du cercle est infiniment petit (i; 80), et son centre a pour coordonnées y = o, X—- ±8. Les points, qui ont pour polaires des droites fixes, peuvent donc être eux-mêmes considérés comme des cercles faisant partie du système ; c'est pour cette raison que Poncelçt ( * ) leur a donné le nom de points limites du système.
*H2. Les tangentes menées à tous les cercles ayant même axe radical^ par un point de cet axe, ont même longueur (n** 107) ; le lieu de leurs points de contact est donc un cercle qui coupe orthogonalement tous les cercles du système, puisque ses rayons leur sont tangents.
L'équation de ce cercle s'obtient facilement^ en observant que le carré de son rayon ou, ce qui revient au même, le carré de la tangente menée à l'un quelconque des cercles du système, a;^ 4- X^ — a Ara? -f- 5^ = o, par un point (o, h) de l'axe radical, est égal (n^ 90 ) à A^ 4 52,
On a ainsi, puisque le centre est au point (o, h)
ou
^' H- /' — 2 hy = 8*.
Quelle que soît, sur l'axe radical, la position du centre, autrement dit quelle que soit la valeur de A , ce cercle coupe tou-
(*) PoNGELET, Traité des Propriétés projectives, p. 4'-
jours la ligne des centres aux points fixes^ = o, a: = ib B, que nous avons trouvés précédemment. Donc, tout cercle, qui coupe orthogonalement un système de cercles ayant k même axe radical, passe par les points limites du système.
Exercices.
