Trouver la condition pour que les deux cercles
x^ -+-/• -h igx -4- *^fy -h c = o, x^'\-y'^-\- ^g'x ■+■ ^fy'\- c' = o
se coupent à angle droit.
En exprimant que le carré de la distance des centres de ces cercles est égal à la somme des carrés des rayons, on trouve
on, en réduisant,
2. Construire le cercle coupant orthogonalement trois cercles donnés*
En s'appuyant sur le résultat obtenu dans l'Exercice précédent, on obtient trois équations du premier degré, qui permettent de déterminer les trois inconnues g, f et c, et, par suite, d'écrire l'équation du cercle cherché (n^ 94).
On peut aussi construire ce cercle en observant que son centre est le centre radical des trois cercles, et que son rayon est égal à la tangente menée de ce centre à l'un quelconque des cercles donnés.
3. Trouver le cercle coupant orthogonalement les trois cercles de VExercice 2 (n» 108).
Réponse, (^+ -L)=^ h. (y h- f|)' = Ig
4. Tout cercle S qui coupe orthogonalement les trois cercles S', S' et S*, rencontre à angle droit le cercle A:S' -h /S' -+- /n S' = o.
La condition pour que S coupe orthogonalement
kW -^ IS' -h m^'" = o,
peut s'écrire
= (A:-+- l -^ m) c '\~ kc' -^ l<f -h me" ;
et cette condition est remplie, puisque, d'après Thypothèse, les coefficients de A:, / et m sont tous séparément nuls.
On verrait de même que tout cercle qui coupe orthogonalement S' et S', rencontre à angle droit le cercle ^S' -+- ^S*'.
5. Tous les cercles qui coupent orthogonalement deux cercles S' et S' ont m.ême axe radical.
Ce théorème, déjà indiqué au n^ 112, peut encore se démontrer de la manière suivante. Les équations
2gg' -+- l/f = C-^C', ^gg' H- 2/r ^C^tf,
obtenues en écrivant (Ex. 1) que l'un quelconque de ces cercles rencontre S' et S' à angle droit, sont du premier degré en g^f et c. L'équation obtenue , en éliminant g e^t f entre ces équations et Téquation générale du cercle
x^ -4-^2 -+- 2^a? -\- if y 4- c = o,
ne renferme plus que l'indéterminée c, et comme elle est du premier degré en c, elle représente (no 105) une série de cercles ayant même axe radical.
6. La polaire de Vextrém,ité A du diam.ètre AB d'un cercle, prise par rapport à un cercle coupant orthogonalement le premier, pa^se par le point B.
7. Le carré de la tangente menée à un cercle, par un.pomt quelconque d'un autre cercle, est proportionnel à la distance qui sépare ce point de l'axe radical des deux cercles.
8. Trouver l'angle a sui\^ant lequel deux cercles se coupent.
Soient R et r les rayons des cercles, D la distance de leurs centres, on aura
D* = R2-j-r» — 2Rrcosa,
puisque Fangle suivant lequel les cercles se coupent est égal à l'angle formé par les rayons qui aboutissent au point d'intersection.
Quaod les deux cercles sont définis par l'équation générale, cette expression prend la forme
— aRrcosa = aG^-f- aF/ — G — c.
Lorsque S = o est Téquation du cercle .de rayon r, les coordonnées du centre du deuxième cercle vérifient la relation R* — aRr cosa = S, puisque (n^QO) D* — r' est égal au carré de la tangente menée à S par le centre de ce deuxième cercle.
9. Tout cercle mobile qui coupe deux cercles fixes sous des angles constants, coupe, sous des angles constants, tous les cercles ayant même axe radical que les deux, cercles fi^es.
Soient S = o, S' = o les équations des deux cercles fixes, r et r' leurs rayons, a et ^ les angles sous lesquels ils coupent le cercle mobile, R le rayon du cercle mobile; d'après l'Exercice précédent, les coordonnées du centre de ce cercle satisfont aux relations
R* — aRrcosa = S, R» — aRr' cos^ = S'.
On en déduit
Ârr cos a -4- /r' cos p A:S-+-/S'
ce qui est la condition pour que le cercle mobile coupe le cercle ArS + /S' sous l'angle constant y; y étant défini par l'expression
(A: -f- /) r' cos Y = ^/* cosa -H //•' cos p,
dans laquelle r* est le rayon du cercle A:S -i- /S'.
10. Tout cercle qui coupe deux cercles fixes sous des angles constants est tangent à deux cercles fixes.
k On peut, en effet, déterminer le rapport j de l'Exercice précédent,
de telle sorte que "y = o> autrement dit que cos^ = i ; et en portant dans l'équation finale de cet Exercice la valeur de r^ qu'on déduit de l'expression (n® 107, Ex.) :
(A- --h lyr'^ = {k-^l) (kr^ h- Ir^^) - klD\
k on trouve, pour déterminer le rapport j ) une équation du deuxième
degré.
