Mener une tangente commune aux deux cercles ?> etS
Soient
les équations de ces deux cercles.
L'équation d'une tangente au premier cercle S est (n® 85)
ou bien
(a: — a) cosô 4- (y — p)sinô = /';
en posant, comme au n*^ 102,
= cosÔ, ^i:=smô:
on a de même, pour une tangente au deuxième cercle S',
(a?~a')cos6'-h (7— p')sin6' — r'.
L'équation de la tangente commune s'obtiendra en écrivant que les deux équations précédentes représentent une même droite. En égalant les coefficients de y^ après avoir, dans chacune de ces équations, ramené le coefficient de ^ à l'unité, il vient
tango = tango',
ce qui donne
e = e', ou Ô=i: i8o^-hô';
et, en exprimant que l'une ou l'autre de ces conditions est remplie dans l'équation fournie par la comparaison des termes constants, on a, pour la relation cherchée,
( a — a' ) cos 0 4- ( p — p' ) 9În 6 -h r — r' = o,
lorsque 6 = 6', et
(a — a') cosô -+-(p — P')sin6 -h r-i- r'nro
dans le cas où 0 = i8o® + ^.
Chacune de ces expressions conduit à une équation du deuxième degré pour déterminer 6. Les racines de la première de ces équations correspondent aux tangentes communes extérieures, ou directes, Ka^hld {Jig,^2.)] les racines de la
Fig. 4a.
seconde, aux tangentes communes intérieures, ou inverses,
Pour obtenir les coordonnées du point de contact du cercle S et de la tangente commune, il suffit de remplacer dans les expressions précédentes, cos6 etsinô par leurs valeurs
cosO
sinô =:
on trouve ainsi, suivant le cas,
(.^oc')(^'-a) + (p-p')(/-p)-l-r(r--r') = o. (3, a')(^' - ûc) 4- ( S .- p')(/ - p) -H r (r 4- r') -: o.
En combinant la première de ces équations avec celle du cercle S, on obtient une équation du deuxième degré qui a pour racines les coordonnées des points de contact A et A' des tangentes communes extérieures avec le cei'cle S (n°88) ;
et Téqualion
représente la corde de contact AA' de ces tangentes. De même,
représente la corde de contact BB' des tangentes communes intérieures, considérées comme tangentes au cercle S.
Lorsque le centre du cercle S est pris pour origine, a et ^ s'annulent, et l'on a, pour les équations des cordes de contact dans le cercle S,
Trouver les tangentes communes aux cercles
Les cordes de coatact des tangentes communes considérées comme tangentes au premier cercle sont
La première rencontre le cercle aux points (î», 2). { -r» t j \ ce qui donne, pour les tangentes menées par ces points,
la seconde rencontre le cercle aux points (i, i), ( ^> ^ ) : et l'on a, pour les tangentes correspondantes,
x — ij 3a7-h47 = 5.
114. Les points O et O', où se rencontrent respectivement les tangentes communes extérieures et intérieures, sont les centres de similitude des deux cercles. On verra plus loin la raison de cette dénomination.
S. — Géom.. à deux dim. t^
Leurs coordonnées se trouvent facilement ; car O est, par rapport au cercle S, le pôle de la corde de contact AA', qui a pour équation
En comparant cette équation avec celle de la polaire du point (:r',y)
on trouve, pour les coordonnées ^'jJk' du point O,
ou bien
I ^'r — txr' , p'r — pr'
^=-:: — TT-^ y
On trouverait de même, pour les coordonnées de O',
La forme des expressions obtenues montre (n*7) que les centres de similitude sont les points où la droite qui joint les centres des cercles est divisée, extérieurement et intérieurement, dans le rapport des rayons.
Exercice.
Trouver les tangentes communes aux cercles
x^-r-y^ — 6a? — 87 = 0, x^-^y^ — ^x — 6^ = 3. L'équation des tangentes menées au cercle
DES SV8TÈMB8 DE CBBGLES. 179
par le point (a:',^) est (n« 92)
Les coordonnées du centre extérieur de similitude étant — 2, — 1 , les tangentes qui passent par ce centre ont pour équation
25(ar* -4-^* — 6x — 8/) = (50? -\-'5y — io)«, c'est-à-dire
x)^-^x-{-iiy-^2 = Oj ou (rr-h 2)(^-f-i) = o.
Les cercles donnés se coupant en des points réels, les tangentes intérieures sont imaginaires; leur équation
40a?* "f- xy -4- 40/* — 199^ — ^7^y -i- 722 = o
se trouve de la même manière que celle des tangentes extérieures
en observant que le centre intérieur de similitude a pour coor-
1 , 22 3i données — et — •
415. Les droites menées par l'intersection des tangentes communes à deux cercles sont divisées en parties proportionnelles par ces cercles.
Quand on prend sur un rayon vecteur OP, issu du point O et aboutissant au point P, un point Q, tel que OP = m. OQ. on obtient les coordonnées du point Q en divisant par m celles du point P; si P décrit une courbe, Q en décrit une autre dont' T équation se trouve , en remplaçant x et y par m,x et my^ dans Véquation de la courbe décrite par P.
Prenons pour axes les tangentes communes, et représentons (Jig» 4^) Oa par a, OA par a'; les équations des deux cercles seront (n®84, Ex. 2)
x^ -^ y^ -\- ixy coso) — 2 ax — 2 a/ -h a' =: o, /pî j j^i l ^^y cosû) — 2 a'x — Q a' y n- a'* i^ o.
La seconde équation se déduit de la première en y rempin-
çant X et^ par —f'>~~\ elle représente donc le lieu que Ton
obtiendrait en prolongeant, dans le rapport de a à a', chacun des rayons vecteurs menés au premier cercle.
Corollaire. — Le rectangle Op.Op' {fig-^i) étant conslant (n*» 104, Ex. i ), ainsi que la rapport OR: Op, les rectangles OR.Op', OR'-.Opsont égaux et constants, quelle que soit la direction de la droite menée par le point O.
416. Siy par un centre de similitude O, on mène deiur droites coupant le premier cercle ifig. 43 ) aux points R, R',
S, S', et le second aux points p, p', a, J, les cordes RS et pj, R'S' et çlof sont parallèles^ et les cordes RS et p'c', K'S'et (w se coupent sur Vaxe radical PQ des deux cercles.
Prenons OR et OS pour axes, et soit
a(.r' -T- 2^jcosa) 4-/') H- ^gx -\- 2fy -{- c=io
l'équation du cercle par, pV.
Le point O étant un centre de similitude, on aura (n*li3j
OR ~ m. Dp, OS — m.Ors, ce qui donne pour Péq nation du cercle RSR'S'
a{x' -\- ixyco^iù -h/') -h 2m(gx -h/j) -f-/»*c = o,
DES STSTÈMES DE CBBCLES. l8l
et pour Téquation de l'axe radical (n® 105)
Les équations de pc et de pV pouvant s'écrire
on a, pour les équations de RS et de R' S
ma * mb ' ma' mb'
et l'on voit immédiatement que RS est parallèle à pa, et R'S'àpV. Quant aux cordes RS et pV, elles se coupent sur la
droite
^l:;-^-3)-^-rlx-^X7) = I-^'»;
c'est-à-dire sur l'axe radical des deux cercles, puisque cette équation peut se mettre sous la forme (n® 100)
il en est de même pour les cordes R'S' et pj.
Comme cas particulier de ce théorème, on voit que les tangentes en R et p sont parallèles, ainsi que celles en R' et p', et que les tangentes en R et p', en R' et p se coupent sur 1 axe radical.
117. Étant donnés trois cercles S, S' etS^^ la droite qui joint un des centres de similitude de S et de S', à un centre de similitude de S et de S", paisse par un centre de similitude de S' et de S'.
Soient r, /, /' les rayons de ces trois cercles ; ( a, ^ ) , ( a , ^') • (/,P") leurs centres. Les deux premiers centres de similitude
l8a CHAPITRE VIII.
ont pour coordonnées (n** 114)
et la droite qui les joint a pour équation (n® 29, Ex. 6)
La symétrie de cette équation montre que la ligne qu'elle représente passe aussi par le troisième centre de similitude
cette droite s'appelle axe de similitude des trois cercles
Chaque couple de cercles ayant deux centres de similitude, il y a en tout six centres de similitude S, S', S*^. . . . pour les trois cercles, et ces centres sont distribués troà . par trois sur quatre axes de similitude, ainsi que le représente la figure suivante :
Fig. 44.
Les équations des trois autres axes s'obtiennent en changeant successivement les signes de r, r', r" dans l'équatioD donnéô plus haut.
DES SYSTÈMES DE CERCLES. l83
Corollaire. — Lorsqu'un cercle S est tangent aux deux cercles S et S', la droite qui joint les points de contact de S avec S et S' passe par l'un des centres de similitude de S et S'. En effet, lorsque deux cercles se touchent, un de leurs centres de similitude coïncide avec le point de contact.
Quand 2 est tangent intérieurement, ou extérieurement, aux deux cercles S et S' à la fois, la droite qui joint les points de contact passe par le centre extérieur de similitude de S et S' ; lorsque 2 est tangent intérieurement à Tun des cercles et extérieurement à l'autre, cette même droite passe par le centre intérieur de similitude.
*li8. Troui^er le lieu des centres des cercles S qui coupent trois cercles donnés S, S', S" sous le même angle.
Lorsqu'un cercle S, de rayon R, coupe sous l'angle a les trois cercles S, S' et S'', les coordonnées de son centre (n® 112, Ex. 8) satisfont aux relations
S -= R* — 2 R r cosa, S' r= R* — 2Kr' cosa, S'' = R* — aRr* cosa ;
et en éliminant R^ et Rcosa entre ces trois équations, on aura l'équation du lieu cherché. On obtient successivement
S — S' =: 2R{i^ — r) cosa, S — S'' ru: 2R{r' ~ r) cosa-,
d'où
Le lieu est donc une droite qui passe par le centre radical des trois cercles (n® 108). En remplaçant S, S' et S^' par leurs valeurs développées, on trouve pour les coefficients de x et de jKj
— 2[a(r' — r')-Ha'(r' — r)4-a''(r-r')],
l84 CHAPITRE VIII.
et en comparant ces coefficients aux coefficients de ^ et de r dans l'équation de l'axe de similitude (n® 117), on voit (n® 32) que le lieu est une perpendiculaire abaissée du centre radical sur un des axes de similitude.
Il est indifférent de prendre, pour angle des deux cercles, l'un ou l'autre des deux angles supplémentaires que forment les rayons aboutissant au point d'intersection. Les formules dont nous avons fait usage (n® 112) supposent que cet angle est celui sous lequel la distance des centres est vue du point d'intersection; dans cette hypothèse, le lieu dont on vient de trouver l'équation est une perpendiculaire à Taxe extérieur de similitude. Si l'on n'admet pas cette restriction, il faut substituer à la formule du n** 112 la suivante :
S riiR* =b aRrcosa;
ce qui revient à changer le signe de l'une ou l'autre des quantités r^r^^r^' dans les expressions précédentes. Le lieu cherché peut donc (n®117) être perpendiculaire à l'un quelconque des axes de similitude (').
Lorsque deux cercles sont tangents intérieurement, l'angle sous lequel ils se coupent est nul, puisque les rayons qui abou-
(*) Les cercles qui coupent, sous des angles égaux, trois cercles donnés S, S', S', de rayons r, r', r", ont pour axe radical commun un des axes de similitude. Considérons en particulier les trois cercles £, JS, £', de rayons n, R'y R% et soient a, ^, f les angles sous lesquels ils coupent respectivement les cercles donnés. Les coordonnées du centre de chacun des cercles S, S', S' satisfont aux conditions
£ = r* — 2rRcosa, 2:' = r« — arR'cosp, ï'^r' — arR'cosy: d'où
(Rcosa-R''cosy)(2: — 5:')=:(Rcosa— R'cosp)(L--S'').
Cette équation, qui parait être celle d'une droite, est vérifiée par les coordonnées des centres de S, de S' et de S", bien que nous n'ayons pas supposé ces trois points en ligne droite. Il faut donc qu'elle se réduise à une relation identique de la forme ï = ArE'-i-ZS'; autrement dit que les trois cercles £, V et £' aient le même axe radical.
DES ST8TÉHBS DB CERCLES. l85
tissent au point de contact coïncident; mais s^ls se touchent extérieurement, cet angle, en vertu des conventions faites précédemment, est égal à 1 80**, puisqu'un des rayons est situé dans le prolongement de l'autre. La perpendiculaire abaissée sur l'axe de similitude extérieur contient donc les centres des rercles qui touchent intérieurement, ou extérieurement, les trois cercles donnés. En changeant le signe de r dans l'équation de cette perpendiculaire, on obtient l'équation du lieu des centres des cercles tangents extérieurement à S, et intérieurement à S' et S'', ou inversement, et ce lieu est une perpendiculaire à l'un des autres axes de similitude. On peut donc mener huit cercles tangents à trois cercles donnés ; les <-entres de ces huit cercles se trouvent, deux par deux, sur les ))erpendiculaires abaissées du centre radical sur les quatre axes de similitude.
*119. Décrire un cercle S tangent à trois cercles don-
Nous connaissons déjà (n® H8) un lieu sur lequel doit se trouver le centre du cercle cherché ; on peut en déterminer «n autre en éliminant le rayon R de ce cercle entre les deux équations
S=:^R*-4-2rR, S'=::R»-!-2r'R;
mais la courbe que l'on trouve ainsi n'est pas un cercle, et l'on obtient une solution plus élémentaire en cherchant, au lieu des coordonnées du centre du cercle tangent S, les coordonnées du point de contact de ce cercle avec un des cercles donnés. Ce point se trouvant sur un cercle, on a déjà une relation entre ses coordonnées ; il suffira donc d'en trouver ane autre pour qu'elles soient complètement déterminées ( * ).
(') Cette solution a été donnée par M. Gergonne [Annales de Mathématiquesj t. VII, p. 289 ).
l86 CHAPITRE YIII.
Plaçons, pour simplifier, l'origine des coordonnées au centre du cercle S, dont on veut déterminer le point de contact avec S ; et désignons par A et B les coordonnées du centre de ^ ; par ^ et^ les coordonnées du point de contact de S avec S.
Les coordonnées A et B vérifient les équations (n® 118)
S — S;zzi2R(r — r'), S — S"-ii:2R(r — r^);
et l'on a, entre ces coordonnées et celles du point de contact, les relations
Pour trouver le résultat de la substitution de mXy my à x et j^ dans l'équation d'une droite, on peut multiplier toute l'équation par m et en retrancher (m — i ) fois le terme constant.
Lorsqu'on suppose les équations de S, S' et S" mises sous la forme générale indiquée au n® 79, le terme constant de S -S'(nM05)estégal à
puisque, d'après le choix des axes, on a à la fois a ^^ o, ^ = o : le résultat de la substitution de A et B k x el y dans S — S' --- 2R (r — r') sera donc
ou
On aura de même
(R -h r) (S — S") irr R [( r — r^)« — «''^ __ p/^tj^
et en éliminant R entre ces deux équations , on voit que le
point de contact cherché se trouve à l'intersection du cercle S avec la droite
120. Pour compléter la solution géométrique du problème, il reste à montrer comment on peut construire la droite dont nous venons de trouver Téquation. Cette droite passe par le centre radical des cercles donnés ; il suffit donc d'en trouver un deuxième point. En remplaçant S — S', S — S" parleurs valeurs développées (n® i05), son équation devient
